证易见 lim s(x)=S(x)=0.而 Sn(x)-(x),|x|1.2n|x < 在(-∞,+∞)内 1+n2x22n1+(mx)2-2n 成立.由系1, 例7对定义在区间[0,1]上的函数列 2n2x 0≤x fn(x)=2n-2n X, i 5/= 2 <x<1 证明: lim f c(x)=0,但在[0,1]上不一致收敛 证0<x≤1时,只要n>x-,就有厂n(x)=0.因此,在(0,1]上 有f(x)= lim(x)=0.fn(0)=0,→f(0)= lim f(0)=0.于 是,在[0,1]上有∫(x)= lim f(x)=0.但由于 ma(x)-() 2n/-“》0,(n→∞),因此,该函数 列在[0,1]上不一致收敛 例8fn(x)=Sin 考查函数列{n(x)}在下列区间上的一致 收敛性:(1)[-l,l],(>0) 三.函数项级数及其一致收敛性 1.函数项级数及其和函数;∑u1(x),前n项部分和函数列{S1(x)} 收敛点,收敛域,和函数,余项 例9定义在(-∞,+∞)内的函数项级数(称为几何级数)证 易见 n ∞→ lim = xSxS = .0)()( n 而 nx n xn xn n x xSxSn 2 1 )(1 ||2 2 1 1 || |)()(| 22 2 ≤ + ⋅= + =− 在 − ∞ + ∞ ) , ( 内 成立. 由系 1 , ⇒ …… 例7 对定义在区间 上的函数列 ] 1 , 0 [ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤< − ≤< = ≤≤ = . 1 1 , 0 ), , 2 , 1 ( , 1 2 1 ,22 , 2 1 0 , 2 )( 2 2 x n n n x n xnn n xn x xf n " 证明: , 但在 上不一致收敛. n ∞→ lim xf )( n = 0 ] 1 , 0 [ 证 x ≤< 10 时, 只要 > xn −1 , 就有 xf )( n = 0. 因此, 在 上 有 ] 1 , 0 ( xf )( = n ∞→ lim xf )( n = 0. = 0)0( n f , ⇒ f )0( = n ∞→ lim )0( n f = 0.于 是 , 在 ] 1 , 0 [ 上 有 xf )( = n→∞ lim xf )( n = 0 . 但 由 于 0 2 1 |)()(|max]1,0[ ⎟ = →/ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =− ∈ n n fxfxf n n x , n → ∞ ) ( ,因此 , 该函数 列在 ] 1 , 0 [ 上不一致收敛. 例 8 xf )( n = 12 sin 2 n + x . 考查函数列 在下列区间上的一致 收敛性: ⑴ xf )}({ n − lll > )0( , ] , [ ; ⑵ + ∞) , 0 [ . 三. 函数项级数及其一致收敛性: 1．函数项级数及其和函数：，∑ xu )( n , 前 n 项部分和函数列 ， 收敛点，收敛域, 和函数, 余项. xS )}({ n 例 9 定义在 ∞− + ∞ ) , ( 内的函数项级数( 称为几何级数 ) 158