另一种形式m-f< )(利用式|m-fm|sm-f+n-f) )易见逐点收敛.设limJ(x)=f(x) 有 f (x)-f,(x)< 令m→∞,→|fn(x)-f(x)|<E对x∈D成立,即 fn(x)二f(x),(n→∞),x∈D 系1在D上f二∫,(n→∞),分 limsup f,(x)-f(x)=0 系2设在数集D上∫n(x)→>f(x),(n→∞).若存在数列 {xn}cD,使|f(xn)-f(xn)|0,则函数列{n(x)}在数集D上 非一致收敛 应用系2判断函数列{n(x)}在数集D上非一致收敛时,常选xn为函 数Fn(x)=fn(x)-f(x)在数集D上的最值点 验证函数一致收敛性 例4f(x)=当.证明函数列{(x)}在R内一致收敛 例5fn(x)=2n2xemx.证明在R内f(x)→>0,但不一致收敛 证显然有fn(x)→0,|f(x)-f(x)|=Jn(x)在点xn=一一处 取得极大值|=√2me→0,、(n→∞),由系2,/() 不一致收敛 例6S(x) 1+n2x 证明在(-∞,+∞)内Sn(x)二0 n→另一种形式 <− ε + npn ff .) 证 ⇒) ( 利用式 ffffff . mnm n −+−≤− ) ⇐) 易 见 逐 点 收 敛 . 设 n ∞→ lim xf )( n = xf )( , … … , 有 2 |)()(| ε m n xfxf <− . 令 m ∞→ , ⇒ ε ε <≤− 2 xfxf |)()(| n 对 ∀ x ∈ D 成立 , 即 xf )( , n ⎯⎯→ ⎯⎯→ xf )( n → ∞ ) ( ， x∈D. 系 1 在 D 上 f n ⎯ ⎯ ⎯→ ⎯→ f , n ∞→ ) ( ，⇔ − = 0|)()(|suplim∞→ xfxf n D n . 系 2 设在数集 D 上 xf )( , n → xf )( n → ∞ ) ( . 若存在数列 xn }{ ⊂ D , 使 − →/ 0 |)()(| nn n xfxf , 则函数列 在数集 D 上 非一致收敛 . xf )}({ n 应用系 2 判断函数列 在数集 D 上非一致收敛时, 常选 为函 数 ― 在数集 D 上的最值点. xf )}({ n n x n xF )( = xf )( n xf )( 验证函数一致收敛性: 例 4 xf )( n n sin nx = . 证明函数列 xf )}({ 在 R 内一致收敛. n 例 5 xf )( . 证明在 R 内 , 但不一致收敛. n 22 2 2 xn xen − = xf )( n → 0 证 显然有 xf )( , n → 0 xfxf |)()(| n − = n xf )( 在点 n x = 2n 1 处 取得极大值 02 2 1 2 1 ⎟ = →/ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − ne n f n , n → ∞ ) ( . 由系 2 , 不一致收敛. xf )}({ n 例 6 22 1 )( n x x n xS + = . 证 明 在 ∞− + ∞ ) , ( 内 , . xS )( n ⎯⎯→ ⎯⎯→ 0 n ∞→ ) ( 157