x =r.I 0,x∈[0,11x≠F,12…J(x)→D(x) x∈[0,1] (4)f(x)=2n'xe- fn(x)→>0, x∈R 4′ 0≤x< G/()={2-4"x 1 x≤1 有∫(x)→0,x∈[0,1,(n→∞).(注意fn(x)dr=1.) 二.函数列的一致收敛性: 问题:若在数集D上fn(x)→>∫(x),(n→∞).试问:通项fn(x)的 解析性质是否必遗传给极限函数∫(x)?答案是否定的.上述例1、例 3(1)②)说明连续性未能遗传,而例3(3)说明可积性未能遗传.例3(4)(5)说明 虽然可积性得到遗传,但 r'SCxdrxajlim f,(Gx)ber 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段.特别是表达非初 等函数的一种手段.对这种函数, lim f,(x)就是其表达式.于是,由通 项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要.那末,在 什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢?一个充分条件就 是所谓“一致收敛”.一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛” 的结果 定义(一致收敛) 致收敛的几何意义 Th1(一致收敛的 Cauchy准则)函数列{/n}在数集D上一致收 敛,分VE>0,彐N,Vm,n>N, m-f 介绍xf )( , n = ⎩ ⎨ ⎧ ∈ ≠ = .,,, ] 1 , 0 [ , 0 ,,,, , 1 21 21 n n x rrrx rrrx " " 且 xf )( n → xD )( x∈ ] 1 , 0 [ . ⑷ xf )( . , n = 22 2 2 xn xen − xf )( n → 0 x ∈R . ⑸ xf )( n = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≤≤ − <≤ <≤ − − + . 1 2 1 , 0 , 2 1 2 1 ,42 , 2 1 0 ,4 1 1 1 x xx x x n n n nn n n 有 xf )( , n → 0 x ∈ ] 1 , 0 [ , n ∞→ ) ( . （ 注意 .） ∫ ≡ 1 0 dxxf 1)( n 二. 函数列的一致收敛性: 问题: 若在数集D 上 xf )( , n → xf )( n → ∞ ) ( . 试问: 通项 的 解析性质是否必遗传给极限函数 ? 答案是否定的. 上述例 1、例 3⑴⑵说明连续性未能遗传,而例 3⑶说明可积性未能遗传. 例 3⑷⑸说明 虽然可积性得到遗传, 但 xf )( n xf )( n ∞→ lim ( ) ∫ ∫ ∞→ ≠ 1 0 1 0 )(lim)( dxxfdxxf n n n . 用函数列的极限表示函数是函数表达的一种重要手段. 特别是表达非初 等函数的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通 项函数的解析性质研究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在 什么条件下通项函数的解析性质能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就 是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收敛加强为所谓“整体收敛” 的结果. n ∞→ lim xf )( n 定义 ( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. Th1 (一致收敛的 Cauchy 准则 ) 函数列 在数集 D 上一致收 敛, }{ n f ⇔ ε ∃>∀ , 0 N , ∀ > Nnm , , ⇒ <− ε nm ff . ( 介绍 156