由 →A 即61,E2…,E都能由a1,a2,…,an线性表示,因为任一n维向量能由单 位向量线性表示,故任一n维向量都可以由a1,a2,…,an线性表示 充分性 =已知任一n维向量都可由a1,a2,…,an线性表示,则单位向量组 E1,62,…,En可由a1,a2…,an线性表示,由8题知a1,a2,…,an线性无关 10.设向量组A:a1,a2,…,a,的秩为r1向量组B:b1,b2,…,b,的秩r 向量组C:a1,a2,…,a,b1,b2,…,b的秩r3,证明 mx{r1,2}≤r3≤r1+n 证明设A,B,C的最大线性无关组分别为A,B,C,含有的向量个数 (秩)分别为r,r2,r2,则A,B,C分别与A,B,C等价易知A,B均可由C 线性表示,则秩(C)≥秩(A)秩(C)≥秩(B),即max{r1,r2}≤r 设A与B中的向量共同构成向量组D,则A,B均可由D线性表 示, 即C可由D线性表示,从而C'可由D线性表示,所以秩(C')≥秩(D) D为r+r2阶矩阵,所以秩(D)≤r+r2即r3≤F+n2 l证明R(4+B)≤R(4)+R(B) 证明:设A=(a1,a2…,an)B=(b,b2,…,bn) 且A,B行向量组的最大无关组分别为a,a2,…,arB,B,…,B 显然,存在矩阵A,B',使得 a B B a b ∴A+B= +B B atbr 因此R(4+B)≤R(4)+R(B)5 由               =                              =               − T n T T T n T T T n T T T n T T a a a A A a a a           2 1 2 1 2 1 1 2 1 即 n  , , , 1 2  都能由 a a an , , , 1 2  线性表示，因为任一 n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一 n 维向量都可以由 a a an , , , 1 2  线性表示. 充分性  已知任一 n 维向量都可由 a a an , , , 1 2  线性表示，则单位向量组： n  , , , 1 2  可由 a a an , , , 1 2  线性表示，由8题知 a a an , , , 1 2  线性无关. 10．设向量组 A : a a as , , , 1 2  的秩为 1 r ,向量组 B : b b bt , , , 1 2  的秩 2 r 向量组 C : a a as b b br , , , , , , , 1 2  1 2  的秩 3 r ,证明 1 2 3 1 2 max{r ,r }  r  r + r 证明 设 A,B,C 的最大线性无关组分别为 A ,B ,C ,含有的向量个数 (秩)分别为 1 2 2 r ,r ,r ,则 A,B,C 分别与 A ,B ,C 等价,易知 A,B 均可由 C 线性表示,则秩( C )  秩( A ),秩( C )  秩( B )，即 1 2 3 max{r ,r }  r 设 A 与 B 中的向量共同构成向量组 D ,则 A,B 均可由 D 线性表 示, 即 C 可由 D 线性表示,从而 C 可由 D 线性表示，所以秩( C )  秩( D ), D 为 1 2 r + r 阶矩阵，所以秩( D ) 1 2  r + r 即 3 1 2 r  r + r . 11.证明 R(A + B)  R(A) + R(B). 证明:设 T A a a an ( , , , ) = 1 2  T B b b bn ( , , , ) = 1 2  且 A,B 行向量组的最大无关组分别为 T r T T 1 , 2 ,  , T s T T  1 ,  2 ,  ,  显然,存在矩阵 A , B ,使得               =                T s T T T n T T A a a a      2 1 2 1 ,               =                T s T T T n T T B b b b      2 1 2 1               + + +  + = T n T n T T T T a b a b a b A B  2 2 1 1               +                =  T s T T T s T T A B         2 1 2 1 因此 R(A + B)  R(A) + R(B)