12.设向量组B:b…,b能由向量组A:a1,…,a,线性表示为 (b1,…b,)=(a1 )K 其中K为sxr矩阵,且A组线性无关。证明B组线性无关的充分必要 条 件是矩阵K的秩R(K)=r 证明→若B组线性无关 令B=(b1,…,b)A=(a1,…,a则有B=AK 由定理知R(B)=R(AK)≤mn{R(A,R(K)≤R(K) 由B组:b1,b2,…,b线性无关知R(B)=r,故R(K)≥r 又知K为r×s阶矩阵则R(K)≤min{r,s} 由于向量组B:b,b2,…b能由向量组A:a1,a2,…a,线性表示,则 r≤S ∴min{r,s}=r 综上所述知r≤R(K)≤r即R(K)=r ←若R(k)=r 令xb1+x2b2+…+xb=0,其中x为实数i=1,2…,r 则有(,b2,…):=0 又(b1,…,b)=(a1,…,a,)K,则(a1,…,a,)k 由于a,n2,…,a线性无关所以2=0 x k1x1+k21x2+…+kn1x1=0 k1,x1+k,,x,+…+k,x=0 即 (1) k,x,+k,x,+…+kx.=0 k1x1+k2x2+…+knxr=0 由于R(K)=r则(1)式等价于下列方程组:6 12．设向量组 B : b br , , 1  能由向量组 A: a as , , 1  线性表示为 (b1 ,  ,br ) = (a1 ,  ,as )K ， 其中 K 为 s  r 矩阵，且 A 组线性无关。证明 B 组线性无关的充分必要 条 件是矩阵 K 的秩 R(K) = r. 证明  若 B 组线性无关 令 ( , , ) ( , , ) B = b1  br A = a1  as 则有 B = AK 由定理知 R(B) = R(AK)  min{ R(A), R(K)}  R(K) 由 B 组: b b br , , , 1 2  线性无关知 R(B) = r ，故 R(K)  r . 又知 K 为 r  s 阶矩阵则 R(K)  min{r,s} 由于向量组 B : b b br , , , 1 2  能由向量组 A : a a as , , , 1 2  线性表示,则 r  s min{r,s} = r 综上所述知 r  R(K)  r 即 R(K) = r ．  若 R(k) = r 令 x1b1 + x2b2 ++ xrbr = 0 ,其中 i x 为实数 i = 1,2,  ,r 则有 ( , , , ) 0 1 1 2 =           r r x x b b  b  又 (b1 ,  ,br ) = (a1 ,  ,as )K ,则 ( , , ) 0 1 1 =           r s x x a  a K  由于 a a as , , , 1 2  线性无关,所以 0 2 1 =                xr x x K  即          + + + = + + + = + + + = + + + = 0 0 0 0 1 1 2 2 1 1 2 2 12 1 22 2 2 11 1 21 2 1 s s rs r r r rr r r r r r k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x k x       （1） 由于 R(K) = r 则(1)式等价于下列方程组: