第二十五讲 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 第5页 825.2 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 在前面几章中,我们讨论过几个常微分方程的本征值问题.涉及的微分方程有 X"+XX=0; 1-x2y=0 1 d/ dR R=0. r dr dr 它们可以归纳为下面的一般形式 p(x)+[\p(a)-q(r)ly 这种类型的方程称为Stum- Liouville型(简称SL型)方程 ·不妨把S-L型方程中的函数p(x),q(x)和p(x)限制为都是实函数,而且都满足必要的连续性 要求 p(x),称为权重函数 ·当权重函数p(x)=常数时,可以取为1 ·不恒为常数的权重函数,可以来源于正交曲面坐标系的使用(这时可以从 Laplace算符的具体 表达式中追寻到权重函数的踪迹;从根本上说,它反映了坐标长度单位是该变量的函数.可 以称之为来源于空间的几何描述的不均匀性),也可能来源于问题所涉及的物理性质的不均 匀性(例如,密度分布的不均匀)因此,就我们所关心的物理间题而言,不妨假设p(x)≥0 而且,应当不恒为0 为了书写的紧凑,还可以引进算符 d -正pa+( (※) 的记号.这样,S-L型方程就可以改写成 Ly(x)=入p(x)y(x S-L型方程附加上适当的边界条件,就构成SL型方程的本征值问题.λ称为本征值.对于 某一个本征值λ,满足SL方程及相应的边界条件的非零解就是本征函数 从微分方程来看,由于p(x)的出现,SL型方程(#)或(并#)明显不同于方程 Lu(r)= Au(rWu Chong-shi ❒❮❰ÏÐ Sturm-Liouville ÑÒÓ❧♠♥♦♣q r 5 s §25.2 Sturm–Liouville ✽✾✿✙✚✛✜✢✣ ✫❀✓Õ❁ ❘✷❶❷➞➟❂Õ ✿ ⑩✳✴➉➵✲➸➺➻➼➽❉❃❄✲✳✴➉➵❁ X00 + λX = 0; d dx  ￾ 1 − x 2
dy dx  + h λ − m2 1 − x 2 i y = 0; 1 r d dr  r dR dr  + h λ − m2 r 2 i R = 0. ❡❷➊● ☛❅★③✓✲✬➩➫➭ d dx  p(x) dy dx  + [λρ(x) − q(x)] y = 0. (#) ➾ ✢❴❆✲➉➵❄ ★ Sturm–Liouville ❆ (✎ ❄ S–L ❆) ➉➵ ❉ • ➣❇❈ S–L ❆➉➵ ❘✲✭✮ p(x), q(x) ✧ ρ(x) ➏❉★■❅➍✭✮✷➤➑■❏❑Ü❸✲❿➀④ ❸❹❉ • ρ(x) ✷ ❄ ★❊ Ö ✭✮❉ • ❍❊ Ö ✭✮ ρ(x) = ⑩✮ P ✷➊● ➦★ 1 ❉ • ➣ ❀★⑩✮✲❊ Ö ✭✮✷➊ ● ➝❋✺åæ ●✓❍■⑦✲ô✘ (➾P➊ ●❏ Laplace ✵✶✲❽ý ✑❑➭ ❘▲▼ê ❊ Ö ✭✮✲◆❖➆ ❏P➸❼✳ ✷❡◗❘❐❍■❙❚✏❯❅✻❱❲✲✭✮❉➊ ●❄ ✬★➝❋✺✯✰✲Õ❳❨✻✲ ➣✁❩④) ✷❲➊↔ ➝❋✺➼➽❋ ❃❄✲❬❭④Ø✲➣✁ ❩ ④ (✉❯✷❪ ❚✴❫✲ ➣✁❩) ❉❚➌✷❞❶❷❋ ✗❴✲❬❭➼➽➤❵✷ ➣❇❛✦ ρ(x) ≥ 0 ✷ ➤➑✷ç❍➣ ❀★ 0 ❉ ★❐✫➹✲❜❝✷➒➊●❞❡✵✶ L ≡ − d dx  p(x) d dx  + q(x) (>) ✲❢❣❉ ➾ë✷ S–L ❆➉➵❞➊●❤ ➹➧ Ly(x) = λρ(x)y(x). (##) S–L ❆➉➵✐✍❼ ñ ❍✲▲▼◆❖✷❞þ➧ S–L ❆➉➵✲➸➺➻➼➽❉ λ ❄ ★➸➺➻❉✹✺ ➠✬✿ ➸➺➻ λ ✷❏❑ S–L ➉➵❄①ç✲▲▼◆❖✲îïì❞❅➸➺✭✮❉ ❏ ✳✴➉➵➝✔ ✷ â ✺ ρ(x) ✲➘❥✷ S–L ❆➉➵ (#) ❛ (##) ❬❦ ➣ ②✺➉➵ L 0 u(x) = λu(x). (z)