§25.2 Sturm- Liouville型方程的本征值问题 第6页 但是,通过变量变换 u(r)=vp(a)y(r) 就可以将方程(#)化为(),其中 d d v(x), p(a) o(r)p(r) 叫可dy P(r) p(a) 方程()当然也还是SL型方程,只不过是一种特殊的SL型方程,权重函数为1 的S-L型方程 定理25.1对于任意函数u1(x)和u2(x),恒有 ( 其中 d 推广到算符L L=-正p) 因为在变换u1(x)=√p(x)y(x),u2(x)=p()v(x)之下,有 iLu2-(Lu1)u2=yiLy2-(Ly1)"y2 所以,对于任意函数y(x)和y(x) L-(y)dp(x)(业n d 定理25.2在边界条件 du? du 之下,算符L′是自伴的 将定理1的推论和定理2结合起来,立即得到:在边界条件 p(a)9 dz sydr /la 0 之下,算符L也是自伴的Wu Chong-shi §25.2 Sturm–Liouville ÑÒÓ❧♠♥♦♣q r 6 s ➡❅✷⑨❂❱❲❱❧ u(x) = p ρ(x)y(x), ❞➊● ➥➉➵ (#) ☞★ (z) ✷❵ ❘ L 0 = − d dx  φ(x) d dx  + ψ(x), φ(x) = p(x) ρ(x) , ψ(x) = − 1 p ρ(x) d dx h p(x) d dx 1 p ρ(x) i + q(x) ρ(x) . ➉➵ (z) ❍Ý❲➒❅ S–L ❆➉➵✷➲➣ ❂❅✬✢ ✠♠✲ S–L ❆➉➵✷❊ Ö ✭✮★ 1 ✲ S–L ❆➉➵❉ ✤♥ 25.1 ✹✺✼✽ ✭✮ u1(x) ✧ u2(x) ✷❀❁ u ∗ 1L 0 u2 − ￾ L 0 u1
∗ u2 = − d dx h φ(x)  u ∗ 1 du2 dx − u2 du ∗ 1 dx i, ❵ ❘ L 0 = d dx  φ(x) d dx  − ψ(x). ♦♣q❇❈ L ❉ L ≡ − d dx  p(x) d dx  + q(x) ❚★✫❱❧ u1(x) = p ρ(x)y1(x), u2(x) = p ρ(x)y2(x) ✬③✷❁ u ∗ 1L 0 u2 − ￾ L 0 u1
∗ u2 = y ∗ 1Ly2 − (Ly1) ∗ y2. ❋●✷✹✺✼✽ ✭✮ y1(x) ✧ y2(x) ✷ y ∗ 1Ly2 − (Ly1) ∗ y2 = − d dx h p(x)  y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx i. ✤♥ 25.2 ✫▲▼◆❖ φ(x)  u ∗ 1 du2 dx − u2 du ∗ 1 dx      b a = 0 ✬③✷✵✶ L 0 ❅ ❢◗✲❉ ➥✩❭ 1 ✲r➟✧✩❭ 2 st⑧➝✷✰❂äê Ù✫▲▼◆❖ p(x)  y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx      b a = 0 (~) ✬③✷✵✶ L ❲❅ ❢◗✲❉