第二十五讲 Sturn- liouville型方程的本征值问题 第7页 在什么情况下边界条件()能够成立? ·第一种情况是在端点x=a和x=b,均有 p)(22-mx) 1.如果和y2在两端点均满足第 三类边界条件,则(△)式成立 例如,在x=a点 av(a)-6(a)=0,i=1,2,a和B均为(正)实数, 取复共轭,还可以得出 v(a)-(a)=0 由于a和β不可能同时为0,故有 (o)(a=ni(a()-m()n()=0 yi(a) yi'(a) 2.如果p(x)在端点(例如,x=a)处为0,这时x=a点是方程的奇点.假定p(x),q(x)和 p(x)满足一定的要求,使得x=a点是方程的正则奇点,而且第一解有界,第二解无界 在附加上有界条件去掉无界解后,就有 p(x)(1 例如 p(a)=0,p(a)≠0.,p(x)和(x-a)q(x)均在x=a点解析 p(a)=0,p(a)=0,p(a)≠0.p(x)和q(x)均在x=a点解析 这在我们讨论过的实际问题中是能够满足的 ·另一种情况是 dr p(a)y1 dr 但不为0,这时(△)式也成立.如果 (a)=p(b),q(a)=q(b),p(a)=p(b) 并且 v(a)=v(b),v1(a)=v1(b),i=1 显然就可以满足这个要求.这正是讨论过的周期条件的情形Wu Chong-shi ❒❮❰ÏÐ Sturm-Liouville ÑÒÓ❧♠♥♦♣q r 7 s ✫✉✈✦✇③✷▲▼◆❖ (~) ↔ ❾➧✰ ① • ②✬✢✦✇❅✫③✷ x = a ✧ x = b ✷ ✁ ❁ p(x)  y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx  = 0. (M) 1. ❯❱ y1 ✧ y2 ✫ ✾ ③✷✁ ❏❑②✬❭❪❭❫❴▲▼◆❖✷❃ (M) ➭➧✰❉ ✉❯✷✫ x = a ✷✷ αyi(a) − βy0 i (a) = 0, i = 1, 2, α ✧ β ✁ ★ (å) ➍✮✷ ➦➯àá✷➒➊● ä➘ αy∗ i (a) − βy∗ i 0 (a) = 0, i = 1, 2. â ✺ α ✧ β ➣ ➊ ↔ ② P ★ 0 ✷④❁     y ∗ 1 (a) y ∗0 1 (a) y2(a) y 0 2 (a)     = y ∗ 1 (a)y 0 2 (a) − y2(a)y ∗0 1 (a) = 0. 2. ❯❱ p(x) ✫③✷ (✉❯✷ x = a) ⑤★ 0, ➾P x = a ✷❅➉➵✲✴✷❉ ❛ ✩ p(x), q(x) ✧ ρ(x) ❏❑✬✩✲❸❹✷ôä x = a ✷❅➉➵✲å❃ ✴✷✷➤➑②✬ì❁▼✷②❪ì➇▼❉ ✫✐✍❼❁▼◆❖⑥ ✜ ➇▼ì⑦✷❞❁ p(x)  y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx      x=a = 0. ✉❯ p(a) = 0, p0 (a) 6= 0, ρ(x) ✧ (x − a)q(x) ✁ ✫ x = a ✷ì⑧ ❛ p(a) = 0, p0 (a) = 0, p00(a) 6= 0, ρ(x) ✧ q(x) ✁ ✫ x = a ✷ì⑧, ➾ ✫❶❷➞➟❂✲➍➎➼➽ ❘❅↔ ❾❏❑✲❉ • ➢✬✢✦✇❅ p(x)  y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx      x=a = p(x)  y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx      x=b , ➡ ➣ ★ 0 ✷ ➾P (M) ➭❲➧✰❉❯❱ p(a) = p(b), q(a) = q(b), ρ(a) = ρ(b), ➐➑ yi(a) = yi(b), y0 i (a) = y 0 i (b), i = 1, 2, ❦Ý❞➊● ❏❑➾✿❸❹❉➾ å❅➞➟❂✲❜❝◆❖✲✦➫❉