§253 Sturm- Liouville型方程本征值问题的简并现象 第8页 25.3 Sturm- LIouville型方程本征值问题的简并现象 对应一个本征值有不只一个(线性无关的)本征函数的现象,称为简并或退化 由于S-L型方程是二阶线性常微分方程,所以,对应一个本征值最多只能有两个(线 性无关的)本征函数 在什么条件下,S-L型方程的本征值间题是简并的?在什么条件下是非简并的? 定理25.3如果S-L型方程本征值问题的一个本征函数是复的,且其实部和虚部线性无关, 则此本征值问题是二重简并的 证根据定理所设,本征函数y(x)是复的,其实部和虚部分别为f(x)和g(x) y(r)=f(r)+igla 则SL型方程可以写成 L(f +ig)=Ap(f +ig) 由于算符L是实算符,权重函数p(x)是实函数,且本征值入为实数,故将上式分别比较实部和虚 部,就得到 Lf=Apf, Lg 这说明f(x)和g(x)都是对应于同一个本征值A的本征函数,它们的线性无关性在定理的已知条 件中已经作了明确的限定 还必须证明f(x)和g(x)也满足原本征值问题的边界条件.这时只要注意到边界条件也是线 性齐次的,并且可能出现的系数也是实数,于是在边界条件中也分别比较实部和虚部即可.口 定理254设(x)和y(x)都是SL型方程本征值间题 Ly(r)= Ap(a)y(a) 的两个实的线性无关的本征函数,并且在x=a和x=b点都单独满足边界条件 dy2 P =p(z)(vi r=b 则y(x)和y(x)不可能对应于同一个本征值入 证用反证法。设m(x)和2(x)对应于同一个本征值A, 因此 Ly2-y2 LyI=0. 注意m(x)和v2(x)都是实函数,(x)=(x),(x)=y(x),所以根据上节定理1的推论,就有 d 0 p(x)(如_mn)=常数C dx的Wu Chong-shi §25.3 Sturm–Liouville ÑÒÓ♠♥♦♣q❧⑨⑩❶❷ r 8 s §25.3 Sturm–Liouville ✽✾✿✚✛✜✢✣✙❸❹❺❻ ✹ç✬✿ ➸➺➻❁➣➲ ✬ ✿ (✤④➇✗✲) ➸➺✭✮✲❥❼✷ ❄ ★✎➐❛❽☞❉ â ✺ S–L ❆➉➵❅❪➁✤④⑩✳✴➉➵✷❋●✷✹ç✬✿ ➸➺➻❾❿➲↔ ❁ ✾✿ (✤ ④➇✗✲) ➸➺✭✮❉ ✫✉✈◆❖③✷ S–L ❆➉➵✲➸➺➻➼➽❅✎➐✲ ①✫✉✈◆❖③❅î ✎➐✲ ① ✤♥ 25.3 ❯❱ S–L ❆➉➵➸➺➻➼➽✲✬✿ ➸➺✭✮❅➯✲✷➑❵➍➀✧➁➀✤④➇✗✷ ❃ ➌➸➺➻➼➽❅❪Ö ✎➐✲❉ ß P➂✩❭ ❋ ✦✷➸➺✭✮ y(x) ❅➯✲✷❵➍➀✧➁➀✴ ✡ ★ f(x) ✧ g(x) ✷ y(x) = f(x) + ig(x). ❃ S–L ❆➉➵➊● ➹➧ L(f + ig) = λρ(f + ig). â ✺✵✶ L ❅➍✵✶✷❊ Ö ✭✮ ρ(x) ❅➍✭✮✷➑➸➺➻ λ ★➍✮✷④➥❼➭✴✡ ➃➄➍➀✧➁ ➀✷❞äê Lf = λρf, Lg = λρg. ➾✳ ❬ f(x) ✧ g(x) ■❅✹ç✺②✬✿ ➸➺➻ λ ✲➸➺✭✮✷❡❷✲✤④➇✗④✫✩❭✲ ➬➅◆ ❖ ❘➬➮➆❐ ❬➶✲➏✩❉ ➒Ü➇❩ ❬ f(x) ✧ g(x) ❲❏❑➈➸➺➻➼➽✲▲▼◆❖❉➾P➲ ❸ é✽ê▲▼◆❖❲❅✤ ④➴➷✲✷➐➑➊↔ ➘❥✲⑦✮❲❅➍✮✷✺❅✫▲▼◆❖ ❘❲✴✡ ➃➄➍➀✧➁➀❂➊❉ ✤♥ 25.4 ✦ y1(x) ✧ y2(x) ■❅ S–L ❆➉➵➸➺➻➼➽ Ly(x) = λρ(x)y(x). ✲ ✾✿➍✲✤④➇✗✲➸➺✭✮✷➐➑✫ x = a ✧ x = b ✷■✏➉❏❑▲▼◆❖ p(x)  y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx      x=a = p(x)  y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx      x=b = 0, (#) ❃ y1(x) ✧ y2(x) ➣ ➊ ↔ ✹ç✺②✬✿ ➸➺➻ λ ❉ ß ✘ ◗❩➊❉✦ y1(x) ✧ y2(x) ✹ç✺②✬✿ ➸➺➻ λ ✷ Ly1 = λρy1, Ly2 = λρy2, ❚➌ y1Ly2 − y2Ly1 = 0, é✽ y1(x) ✧ y2(x) ■❅➍✭✮✷y ∗ 1 (x) = y1(x) ✷y ∗ 2 (x) = y2(x) ✷ ❋●P➂❼✖✩❭ 1 ✲r➟✷❞❁ d dx  p(x)  y1 dy2 dx − y2 dy1 dx  = 0. ✺❅ p(x)  y1 dy2 dx − y2 dy1 dx  = ⑩✮ C.