·960· 北京科技大学学报 第34卷 无具体的指导方针和规则：(2)对隶属度概念的定 (2)集值信息系统构成条件概率空间的三个条件 义和解释存在分歧.高庆狮回深入研究了Zadeh模 (事件域为σ域)：(3)连续条件概率的两个 糊集合理论的缺陷，并提出C一模糊集合理论 条件图 Medaglia等指出隶属函数无统一的确定方法，但 信息系统分为两类，一类是无决策属性的信息 总体可分为数据驱动估计和函数主观选择两大类， 系统，另一类是有决策属性的目标信息系统.尽管 并研究了Bezier曲线确定隶属函数的方法.Shen 模糊性产生的原因有多种四，但如定义隶属度为不 等田也指出隶属函数是模糊数学应用最重要的步 同外延对象对内涵属性的从属程度，则隶属度也可 骤，不同问题应选用不同的隶属函数确定方法，并提 分为两类：第一类是外延对象为内涵属性本身的值 出了聚类方法.对应用统计数据确定隶属度的方 (用信息系统计算)，如年龄对青年人的隶属度：第 法，中国学者称为模糊统计（应区别于模糊数学与 二类是外延对象为不同于内涵属性的其他属性的值 经典统计学相结合的模糊统计方法的)，如汪培 (用目标信息系统计算)，如边坡工程中安全系数对 庄提出了包含模糊统计的集值统计方法，并探讨 稳定性的隶属度.本文通过对以上两个实例隶属度 了与概率统计的对偶关系.Tamaki等)认为隶属函 的求解来说明该算法的具体过程，并与己有的研究 数应基于模糊事件的观测数据给出，并分析了隶属 成果作对比来验证算法结果的可靠性，且第二类隶 函数与条件概率的关系.Coletti等对应用条件概 属度还可以用贝叶斯公式验算 率求解隶属度的方法进行了理论分析和实例探讨， 1 第一类隶属度集值统计算法 但没有给出具体计算过程和详细结果.由此可见， 目前的隶属度的求解尚无统一的观点和方法 1.1初始信息系统 模糊概念的特点是“内涵明确，外延不明确”， 青年人为模糊概念，一般用年龄大小来描述，即 隶属度可定义为不同外延对内涵的从属程度.在知 外延对象为内涵属性本身的实数值，以张南纶)在 识发现理论中，关系数据统计表对应的信息系统由 武汉建材学院的统计数据为样本求解年龄对青年人 属性和对象组成，内涵可用属性表示，外延可用对象 的隶属度. 表示回.本文在以上的研究成果基础上，提出用集 首先，由实验数据可得初始信息系统(U,C,V, 值信息系统求解隶属度的新算法，即对原始统计数 ),表1为部分数据.其中：U为论域，即对象的集 据构成的初始信息系统，以粗糙集理论@求得的商 合，为每次的实验数值{x,},i=1~129(共129次实 集为工具将其转变为集值信息系统，而这个由商集 验)：C为属性，即年龄数值n,据实验数值的论域取 构成的集值信息系统对应一个条件概率空间，用其 13,37]之间的25个实正数，j=0~24:V为属性值 中的条件概率即可求得隶属度.用这种方法计算隶 域，取{Y,Y。},Y表示青年人，Y表示非青年人f为 属度需满足以下三点：(1)模糊统计的四个要素因： 信息函数 表1初始信息系统（部分） Table 1 Initial information system (part) 0 n0=13 n1=14 3=15 n11=24 n12=25 n13=26 n2=35 n3-36 n24=37 x1=18,25 Yo Yo Yo Yi Yi Yo Yo Yo Yo 2=17,30] Yo Yo Yo Y Y Yo 40 Y。 x64=5,25] Yo Yo Y Y y Yo Yo Yo Yo x6s=18,30] o Yo % Y 上 Y Yo Yo 128=18,29] Y % Yo Yo x19=08,28] Y Yo 用粗糙集理论求初始信息系统的商集，可用 X7,…,X6Xg器，…，X129}. Rosetta软件计算，见图L.粗糙商集标记为 1.2集值信息系统 U/m={Q.1,Qo}（j=0~24),其中Q1表示U对 由商集可构成一个集值信息系统(U。,C。,V。, n按属性值Y,划分的商集，Q.o表示U对n,按属性 值Y。划分的商集，可得Q1UQo=U.例如： f6),部分数据见表2.其中：论域U。={n},j=0 U/mo={Qo.1,Qo.o},其中Qo.1=☑，Qo.o=U;U/n1= 24;属性C。={Y1,Y}:属性值域V。={Q1,Q.o} {Q.1Q1.0},其中Q.1={x6xg7},Q1.0={x1…,x5, (=0~24):信息函数f6北 京 科 技 大 学 学 报 第 34 卷 无具体的指导方针和规则; ( 2) 对隶属度概念的定 义和解释存在分歧． 高庆狮［2］深入研究了 Zadeh 模 糊集合理论的缺陷，并提出 C* --模 糊 集 合 理 论． Medaglia 等［3］指出隶属函数无统一的确定方法，但 总体可分为数据驱动估计和函数主观选择两大类， 并研究了 Bézier 曲线确定隶属函数的方法． Shen 等［4］也指出隶属函数是模糊数学应用最重要的步 骤，不同问题应选用不同的隶属函数确定方法，并提 出了聚类方法． 对应用统计数据确定隶属度的方 法，中国学者称为模糊统计( 应区别于模糊数学与 经典统计学相结合的模糊统计方法［5］) ，如 汪 培 庄［6］提出了包含模糊统计的集值统计方法，并探讨 了与概率统计的对偶关系． Tamaki 等［7］认为隶属函 数应基于模糊事件的观测数据给出，并分析了隶属 函数与条件概率的关系． Coletti 等［8］对应用条件概 率求解隶属度的方法进行了理论分析和实例探讨， 但没有给出具体计算过程和详细结果． 由此可见， 目前的隶属度的求解尚无统一的观点和方法． 模糊概念的特点是“内涵明确，外延不明确”， 隶属度可定义为不同外延对内涵的从属程度． 在知 识发现理论中，关系数据统计表对应的信息系统由 属性和对象组成，内涵可用属性表示，外延可用对象 表示［9］． 本文在以上的研究成果基础上，提出用集 值信息系统求解隶属度的新算法，即对原始统计数 据构成的初始信息系统，以粗糙集理论［10］求得的商 集为工具将其转变为集值信息系统，而这个由商集 构成的集值信息系统对应一个条件概率空间，用其 中的条件概率即可求得隶属度． 用这种方法计算隶 属度需满足以下三点: ( 1) 模糊统计的四个要素［6］; ( 2) 集值信息系统构成条件概率空间的三个条件 ( 事件 域 为 σ 域) ［11］; ( 3 ) 连续条件概率的两个 条件［8］． 信息系统分为两类，一类是无决策属性的信息 系统，另一类是有决策属性的目标信息系统． 尽管 模糊性产生的原因有多种［12］，但如定义隶属度为不 同外延对象对内涵属性的从属程度，则隶属度也可 分为两类: 第一类是外延对象为内涵属性本身的值 ( 用信息系统计算) ，如年龄对青年人的隶属度; 第 二类是外延对象为不同于内涵属性的其他属性的值 ( 用目标信息系统计算) ，如边坡工程中安全系数对 稳定性的隶属度． 本文通过对以上两个实例隶属度 的求解来说明该算法的具体过程，并与已有的研究 成果作对比来验证算法结果的可靠性，且第二类隶 属度还可以用贝叶斯公式验算． 1 第一类隶属度集值统计算法 1. 1 初始信息系统 青年人为模糊概念，一般用年龄大小来描述，即 外延对象为内涵属性本身的实数值，以张南纶［13］在 武汉建材学院的统计数据为样本求解年龄对青年人 的隶属度． 首先，由实验数据可得初始信息系统( U，C，V， f) ，表 1 为部分数据． 其中: U 为论域，即对象的集 合，为每次的实验数值{ xi} ，i = 1 ～ 129 ( 共 129 次实 验) ; C 为属性，即年龄数值 nj ，据实验数值的论域取 ［13，37］之间的 25 个实正数，j = 0 ～ 24; V 为属性值 域，取{ Y1，Y0 } ，Y1表示青年人，Y0表示非青年人; f 为 信息函数． 表 1 初始信息系统( 部分) Table 1 Initial information system ( part) U n0 = 13 n1 = 14 n2 = 15 n11 = 24 n12 = 25 n13 = 26 n22 = 35 n23 = 36 n24 = 37 x1 =［18，25］ Y0 Y0 Y0 Y1 Y1 Y0 Y0 Y0 Y0 x2 =［17，30］ Y0 Y0 Y0 Y1 Y1 Y1 Y0 Y0 Y0 x64 =［15，25］ Y0 Y0 Y1 Y1 Y1 Y0 Y0 Y0 Y0 x65 =［18，30］ Y0 Y0 Y0 Y1 Y1 Y1 Y0 Y0 Y0 x128 =［18，29］ Y0 Y0 Y0 Y1 Y1 Y1 Y0 Y0 Y0 x129 =［18，28］ Y0 Y0 Y0 Y1 Y1 Y1 Y0 Y0 Y0 用粗糙集理论求初始信息系统的商集，可用 Rosetta 软 件［10］ 计 算，见 图 1． 粗糙商集标记为 U/nj = { Qj，1，Qj，0 } ( j = 0 ～ 24) ，其中 Qj，1表示 U 对 nj按属性值 Y1 划分的商集，Qj，0表示 U 对 nj按属性 值 Y0 划 分 的 商 集，可 得 Qj，1 ∪ Qj，0 = U． 例 如: U/n0 = { Q0，1，Q0，0 } ，其中 Q0，1 = &，Q0，0 = U; U/n1 = { Q1，1，Q1，0 } ，其中 Q1，1 = { x6，x87 } ，Q1，0 = { x1，…，x5， x7，…，x86，x88，…，x129 } ． 1. 2 集值信息系统 由商集可构成一个集值信息系统( U0，C0，V0， f0 ) ，部分数据见表 2． 其中: 论域 U0 = { nj} ，j = 0 ～ 24; 属性 C0 = { Y1，Y0 } ; 属性值域 V0 = { Qj，1，Qj，0 } ( j = 0 ～ 24) ; 信息函数 f0 ． ·960·