第8期 方宏伟等：基于粗糙商集的模糊隶属度集值统计算法 ·961· Rosetta-young a8 -日× 图1 Rosetta计算青年人统计数据商集界面 Fig.I Statistics interface of the quotient set of young people by Rosetta calculation 表2青年人统计数据集值信息系统（部分） (3)o可加性，An∩Ao=0,且己知Q.1U Table 2 Setvalued information system of young people statistics data (part) Qo=U,则P（AlAg）=P(2nA)/P(Ag)= k=( Vo y Yo n0=13 Qo.1 Qo.o 1,而PilA,)=P(AlM,)+(AA,.）= n1=14 QL 0.0 1Q11/八U川+IQ.o1/八U1=1,两者相等.以上各式 n2=25 Q2.1 Q2.0 中|·|表示集合的势. m13=26 Q3.1 Q130 由此可定义n,对Y1的隶属度un(n)=P(AnI 2=36 Q25,1 Q23,0 A),即集值信息系统对应的条件概率空间中的条 n24=37 Q24,1 Q24.0 件概率为该集值信息系统下外延对象，对内涵属性 本身Y的隶属度，且满足连续条件概率的条件 首先验证用此集值信息系统计算隶属度包含模 证明： 糊统计的四个要素.(1)论域U。:{n},j=0~24; (1)UnQ=,P(An I A)=I0.nUl/ (2)U,中一个固定元素m,:(3)U。上一个模糊概念 1U1=0,当j=0,24; 内涵Y,对Y的不确定性统计，形成U。上一个可 (2)UCQ,P(An IA)=IQnU/U=1, 变的集合Q1,其中的每个元素都是对Y,外延的一 当i=7~11. 次近似表示，体现了外延对象几对内涵属性Y,的从 1.3结果与验证 属；(4)制约Q:中元素变化的条件，这里主要为被 隶属度计算结果见表3，并与文献3]求得的 统计人员的心理因素 结果作对比，可见两者基本一致.实际上，本文的方 该集值信息系统构成一个条件概率空间(2，厂， 法就是用数学工具（信息系统、粗糙商集、集值信息 P(Aa)(k=1,0).其中：样本空间D=U(初始 系统和条件概率空间)将文献3]求隶属度的思维 信息系统的论域)：事件域T=E(U),为U的幂集， 方法进行理论深化 可知T为一个σ域；P(4lA)为条件概率，Am= 2第二类隶属度集值统计算法 U和A=Qk分别为T中的事件，这里Q.k中j的选 择对应于事件A中的 以上求得的是内涵属性本身的值作为外延对象 证明： 的隶属度.如前所述，还有一种是某一属性的值作 (1)非负性，P(AIAn）=P(A∩A)/P(A)= 为另一属性外延对象的隶属度，如边坡工程中由极 1Q.knU川/1U川=1Q.41/1U川≥0： 限平衡法计算得到的边坡安全系数F对边坡状态S (2)正规性，P(2lA)=P(2nAn)/P(A)= 的隶属度即为此类型.从理论上来说，应该是F>1 IUnUl/IUl =1: 时为稳定状态S,F=1为极限平衡状态，F<1为破第 8 期 方宏伟等: 基于粗糙商集的模糊隶属度集值统计算法 图 1 Rosetta 计算青年人统计数据商集界面 Fig． 1 Statistics interface of the quotient set of young people by Rosetta calculation 表 2 青年人统计数据集值信息系统( 部分) Table 2 Set-valued information system of young people statistics data ( part) U0 Y1 Y0 n0 = 13 Q0，1 Q0，0 n1 = 14 Q1，1 Q1，0 n12 = 25 Q12，1 Q12，0 n13 = 26 Q13，1 Q13，0 n23 = 36 Q23，1 Q23，0 n24 = 37 Q24，1 Q24，0 首先验证用此集值信息系统计算隶属度包含模 糊统计的四个要素． ( 1) 论域 U0 : { nj} ，j = 0 ～ 24; ( 2) U0 中一个固定元素 nj ; ( 3) U0 上一个模糊概念 内涵 Y1，对 Y1 的不确定性统计，形成 U0 上一个可 变的集合 Qj，1，其中的每个元素都是对 Y1 外延的一 次近似表示，体现了外延对象 nj对内涵属性 Y1 的从 属; ( 4) 制约 Qj，1中元素变化的条件，这里主要为被 统计人员的心理因素． 该集值信息系统构成一个条件概率空间( Ω，Γ， P( AYk | Anj ) ) ( k = 1，0) ． 其中: 样本空间 Ω = U( 初始 信息系统的论域) ; 事件域 Γ = Ε( U) ，为 U 的幂集， 可知 Γ 为一个 σ 域［14］; P( AYk |Anj ) 为条件概率，Anj = U 和 AYk = Qj，k分别为 Γ 中的事件，这里 Qj，k中 j 的选 择对应于事件 Anj中的 j． 证明: ( 1) 非负性，P( AYk |Anj) = P( AYk∩Anj) /P( Anj) = |Qj，k∩U| / |U| = |Qj，k | / |U|≥0; ( 2) 正规性，P( Ω| Anj) = P( Ω∩Anj) /P( Anj) = |U∩U| / |U| = 1; ( 3) σ 可 加 性，AY1 ∩ AY0 = &，且 已 知 Qj，1 ∪ Qj，0 = U，则 P ( ∪ 1 k = 0 AYk | Anj ) = P( Ω∩Anj) /P( Anj) = 1，而 ∑ 1 k = 0 P ( AYk | Anj) = P( AY1 | Anj) + P( AY0 | Anj) = |Qj，1 | / |U | + | Qj，0 | / | U | = 1，两者相等． 以上各式 中|·|表示集合的势． 由此可定义 nj对 Y1 的隶属度 μY1 ( nj) = P( AY1 | Anj ) ，即集值信息系统对应的条件概率空间中的条 件概率为该集值信息系统下外延对象 nj对内涵属性 本身 Y1 的隶属度，且满足连续条件概率的条件． 证明: ( 1) U∩Qj，1 = &，P ( AY1 | Anj ) = | Qj，1 ∩U | / |U| = 0，当 j = 0，24; ( 2) UQj，1，P( AY1 | Anj ) = | Qj，1∩U | / | U | = 1， 当 j = 7 ～ 11． 1. 3 结果与验证 隶属度计算结果见表 3，并与文献［13］求得的 结果作对比，可见两者基本一致． 实际上，本文的方 法就是用数学工具( 信息系统、粗糙商集、集值信息 系统和条件概率空间) 将文献［13］求隶属度的思维 方法进行理论深化． 2 第二类隶属度集值统计算法 以上求得的是内涵属性本身的值作为外延对象 的隶属度． 如前所述，还有一种是某一属性的值作 为另一属性外延对象的隶属度，如边坡工程中由极 限平衡法计算得到的边坡安全系数 F 对边坡状态 S 的隶属度即为此类型． 从理论上来说，应该是 F ＞ 1 时为稳定状态 S1，F = 1 为极限平衡状态，F ＜ 1 为破 ·961·