§3数列极限存在的条件 8.证明:若{an}为递增(递减)有界数列,则 lim a,=supa, Kinf a,) 又问逆命题成立否? 证1不妨设{an}为递增有界数列由确界原理,存在n=sup{n},由确界定义, VE>0,3n,7-E<an,由{an}的递增性,当n>n时,-E<an<an<+E,由此可见: vE>0,3n,当n>n时,{n-川<E,即man=sup{an} 反之不然,反例:an=1-(+(-1)") 例2设man=a,由an≤η,由保不等式性质有an≤η,设法证明an<η是不可能的(请读§3 数列极限存在的条件 8．证明：若 an  为递增（递减）有界数列，则 lim sup (inf  ) n n n n a = a a → . 又问逆命题成立否？ 证 1 不 妨设 an  为 递 增 有 界 数列. 由 确 界原 理 ，存 在  = supan  ， 由 确 界 定义 ， 0 0 0, ,   an −  an    ，由 an  的递增性， 当 n  n0 时，  −     +  an0 an . 由此可见： 0   0,n ，当 n  n0 时， −   an ，即 n  n  n lim a = sup a → . 反之不然，反例： (1 ( 1) ) 2 1 1 n n n a = − + − . 例 2 设 an a n = → lim ，由 an  ，由保不等式性质有 an  ，设法证明 an  是不可能的（请读