§3.4一维线性诸振子 (x)U(x)力学系统在稳定 t------ 平衡点附近的运 h2 d'y 动都可简化为线 +-ox 2nd22 vy=Ev系 性谐振子的运动 单值有限连续 数 t 方 y"+ Bema 方)Ⅳy=0程 U=U(0)+U7(0)x+U(0)x2+ 归En=(m+)0=(n+)hy(m=012. U(0)=0:U”0)>0;Fs、dU →F≈-U(0)x mO√u/41 0 mD3+量子化U=1mhx2 丌h√2"n!"1nVh x)exp( 2h 2 能级 h Hermite多项式 间隔 H(y)=;H1(y)=2y;H2(y)=4y2-2; H3()=8y3-12y;H4(y)=16y2-48y2+12; E=-h 与经典谐振子的比较 2 基态的E0、W激发态的、Wn 量子概率波幅 典:/=0;形00)最小E连续;9Wnx)较均匀.量子概率密度 经 n=0 经典概率密度 >0;W0(0最大.En量子化;Wn(x)不均匀 0o  a x  U( x ) U(x) o x (0) 0; (0) 0; ; dx dU U = U  F = −  F  −U(0)x = (0) + (0) + (0) 2 + 2 1 U U U x U x §3. 4 一维线性谐振子 力学系统在稳定 平衡点附近的运 动都可简化为线    性谐振子的运动  m x E dx d m − + = 2 2 2 2 2 2 1 2  变 系 数 方 程 ) ( 0,1,2, ) 2 1 ) ( 2 1 En = (n +  = n + h n =  2 ! 1 ( ) 1 / 4 n m n n     = ( x) m Hn   ) 2 exp( 2 x m   − Hermite多项式 ) 1; H（0 y = ) 2 ; 1 H（y = y ) 4 2; 2 H（2 y = y − ) 8 12 ; 3 3 H（y = y − y ) 16 48 12; 4 2 H（4 y = y − y + ( ) ] 0 2 [ 2 2  + −  =   x m E m   单 值 有 限 连 续 归 一 量子化 能级 间隔 h E h 2 1 0 = n = 0 1 2 3 经典概率密度 量子概率密度 量子概率波幅 o x 2 2 2 1 U = m x 基态的E0 、 W0 经 典 量 子 激发态的En、 Wn 与经典谐振子的比较 =0; W0 (0)最小. >0; W0 (0)最大. En量子化; E连续; Wn (x)不均匀. Wn  (x)较均匀.  n