量子力学的目的:Y(F,)→>平(厂,t+A)(F,1)=2波动方程? 第三章薛定谔方程一几个特征量子现象 §3.1薛定谔方程 1926年 薛定谔方程 要 ①包含波函数的时间导数;④宏观情况下: 孤立量子系统的求 ②方程必须是线性的; 经典力学方程 ③系数不能包含状态参量; 波函数随时间的力 演化遵从下列的学自由粒子平面波函数yP(F,)=(pB)N 薛定谔方程: 第驴 :i at ⊙起乎;x2n;_P乎; a-y i HY假2y at 设 y;E=(p2+D2+p2)/2 ayp h2,o3+2严=mYy; 不是严格给定U分布,;"t2m0x2ay2az 推理是由在一定条件 ap 实验和假下解方程,E=P/2m+(,→=(2m+ 定“凑”}很“自然地” 出来的是得到量子化能量算符动量算符动能算符 哈密顿算符 否正确由的结果并被E= 实验检验实验所证实 at P=-ihv:E h2 h V: H V+U 2
(r,t) → (r,t + t) 一.薛定谔方程 量子力学的目的: (r,t) = ? 波动方程? 第三章 薛定谔方程 几个特征量子现象 ④宏观情况下: →经典力学方程. ①包含波函数的时间导数; ②方程必须是线性的; ③系数不能包含状态参量; 要 求 §3.1 薛定谔方程 1926年 ; E i t = − E = ( px 2 + p 2 y + pz 2 )/ 2m; ; 2 2 2 2 py y = − ; 2 2 2 2 pz z = − ; 2 2 2 2 px x = − = − + + = − ; 2 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 t m x y z m i E = p 2 / 2m + U(r,t); = − + ) ; 2 ( 2 2 U t m i ( , ) ; ( )/ i p r Et r t Ae − 自由粒子平面波函数 = 哈密顿算符 U m H = − + 2 2 ˆ 2 动能算符 2 2 2 ˆ = − m Ek 动量算符 = − p i ˆ 能量算符 t E i = ˆ 量 子 力 学 第 三 假 设 不是严格 推理.是由 实验和假 定“凑” 出来的.是 否正确由 实验检验. 孤立量子系统的 波函数随时间的 演化遵从下列的 薛定谔方程: H t i = ˆ 给定U分布, 在一定条件 下解方程, 很“自然地” 得到量子化 的结果并被 实验所证实
关于方程=Hy的讨论 at 只含对时间包含复系数}多粒子系统:对时间和空间的经典极限下 的一阶导数 微商阶次不对称九→0 Y(,)波函数必须(听1,2,…,,1):源于非相对论的经典的 ↓是复数函数 关系E=p2/2m;力学方程 y(r, *) 相对论的关系 E=cP+ moc; (非决定性的、经典物理的 概率性的; 对论的 统计性的)复数波函数H=∑V2量力学方程 Clein-Gordon =12m 8-yp 方程可描述 预言物理纯粹是为了 choy 零自旋高速 量的取值运算方便 +U(,n,“,,0-mcy运动的粒子 H V2+U(r)→y(r,)=w()·T(t) 关于v(r)的 1 U=U(r) 2m 定态薛定谔方程 系统可以处于稳定态
关于方程 的讨论 H t i = ˆ 只含对时间 的一阶导数 ( , ) ,0) r t r （ (非决定性的; 概率性的; 统计性的) 预言物理 量的取值 包含复系数 经典物理的 复数波函数 纯粹是为了 运算方便. 波函数必须 是复数函数 ( , , , , ) 1 2 r r r t N 多粒子系统 源于非相对论的 关系 / 2 ; 2 E＝p m 对时间和空间的 微商阶次不对称 经典极限下 →0 经典的 力学方程 Clein-Gordon 方程可描述 零自旋高速 运动的粒子 相对论的关系 ; 2 4 0 2 2 2 E ＝c p + m c 2 1 2 2 ˆ i N i mi H − = ＝ ( , , , , ) 1 2 U r r r t N + 相对论的 量子力学方程 2 2 2 2 2 2 = c t 2 4 0 − m c 系统可以处于稳定态 ( ) 2 ˆ 2 2 U r m H = − + (r,t) = (r)T(t) 关于 的 定态薛定谔方程 (r) U U(r) =
§32定态薛定谔方程—痴物质翅结构想 定态薛定谔方程 U=U(F),亚(F,1)=y(r)·7(t);→ 具有 C-V+ Dy= Ey dT 2n in T·( V2+Uy;→ 能量 2m 量纲 dT 能量 能量对应本征值 (nn,y+w=E,/代e 表 本征方程本征值本征函数 粒子 →n=E;→T=Ce-EM,能量 定态薛定谔方程解的问题 振动 (-。V+Uy=E; 因子 ①解的形式:对于给定的势场分 2n 布U(F),在波函数单值、有限、 连续、归一化和一定的边界条件 ③能量本征值谱和本征函数系: 下,求解该方程很自然地得出 E 1529 能量和波函数都是量子化。 2> 非简并:对于某一能级En,如果对应的线性 值的线性独立在函断数的数,独立的本征函数只有一个 称为这个能级的简并度。 简并:如果对应同一能级,线性独立的本 征函数有多个
一.定态薛定谔方程 §3.2 定态薛定谔方程 研究物质的微观结构和 性质时涉及到定态问题 = − + ) ; 2 ( 2 2 U m T dt dT i ) 2 ( 1 1 2 2 U dt m dT T i = − + = E = ; 1 E dt dT T i iEt / T Ce− = ) ; 2 ( 1 2 2 U E m − + = 具有 能量 量纲, 代表 粒子 能量 振动 因子 U = U(r), (r,t) = (r)T(t); U E m − + ) = 2 ( 2 2 能量 本征方程 能量 本征值 对应本征值 本征函数 二.定态薛定谔方程解的问题 ③能量本征值谱和本征函数系： ②简并度：对应同一能级(本征 值)的线性独立本征函数的个数， 称为这个能级的简并度。 U(r ) ①解的形式： 对于给定的势场分 布 ，在波函数单值、有限、 连续、归一化和一定的边界条件 下，求解该方程很自然地得出： 能量和波函数都是量子化。 非简并:对于某一能级En，如果对应的线性 独立的本征函数只有一个。 , , , , E ,E , ,E , n n 1 2 1 2 简并：如果对应同一能级，线性独立的本 征函数有多个
s33一维无限深方势阱中的粒子 阱内 阱外 r) 0 ●● 方 h2 d 方2d 程 2m dx 2=Ey;:[ oⅣy=Ev 2m dx k2=2mE/h2 i y"+ky=0 二二2二二二 y= Acos la+ Bsin kr H()=0→A=0y(a)=0→ Bsinka=0 B≠0,k≠0k=n兀/a(m=1,2,…)=m(/2) 能量量子化(能级) E=n 29 (n=1,2, 2 →E1↑(运动加剧) Un=1sinx;/=1,2,)(量子En中-Enm2)0连续):量子→经典 当n→>∞时 E 2 17C W=-sin x;(n=1,2,)-n i(√mEnx-En1)/h-i(√2mEnx+En1)/h e
0 x U a §3.3 一维无限深方势阱中的粒子 U( x) 阱内 阱外 方 程 0 (x) = 0 ] ; 2 [ 2 2 2 E dx d m − + = 2 2 k = 2mE / ; 2 2 2 2 E dx d m − = 0 2 + k = = Acoskx + Bsinkx (0) = 0 A = 0 (a) = 0 Bsinka = 0 B 0,k 0 k = n / a (n = 1,2, ) ; ( 1,2, ) 2 2 2 2 2 = n = ma En n sin ;( 1,2, ) 2 = x n = a n a n sin ;( 1,2, ) = 2 2 x n = a n a Wn 能量量子化(能级) ( ) 0( ) 1 量子化 ⎯ ⎯→ 连 续 + − n→ n n n E E E n = 1 nn== 32 当 时 量子→经典 n → [ ] 2 2 1 i( 2mE x E t)/ i( 2mE x E t)/ n n n n n e e i a − − + = − a E (运动加剧) 1 a = n( / 2 )
[例题]用物质波的概念简单解释本节求解薛定格方程得到的能 量量子化结果。 解:当粒子被限制在阱中运动时,描述粒子运动的波函数(x) 在两边界处x=0,x=必须为零(即为驻波波节),从而阱 宽a正好等于的 de Broglie波半波长的整数倍才能存在: a=n/2→几=2/n 根据 de broglie关系,粒子动量可以取值: n=1,2,3 2 所以粒子动能,即粒子总能量(阱中粒子势能为零)只能取 分立值: nh E n=1,2,3∴ 2m 8ma
[例题] 用物质波的概念简单解释本节求解薛定格方程得到的能 量量子化结果。 ( x ) x = 0, x = a a 当粒子被限制在阱中运动时，描述粒子运动的波函数 在两边界处 必须为零（即为驻波波节），从而阱 宽 正好等于的de Broglie波半波长的整数倍才能存在： 解： a = n / 2 = 2a / n = = n = , , , a h nh p 1 2 3 2 根据de Broglie关系，粒子动量可以取值： 所以粒子动能，即粒子总能量（阱中粒子势能为零）只能取 分立值： = = n = , , , ma n h m p En 1 2 3 2 8 2 2 2 2
[练习]在上述的无限深方势阱中,一个粒子的状态为 2 P(x)=sin SIn 现多次测量该粒子的能量求:①每次可能测到的值和相应概率; ②测量所得到的能量的平均值 2,n丌 解:E I h (n=1,2,…); -sinx(n=1,2,…) n 2ma 1()=bx,2m8“22+2-0=a→ 2兀 丌x 2.2元x y(x=(sin SIn SIn SIn );→ v(x)=/=y √2 √2 √22√2 ①E1 n-h 2 2ma 2,2兀 h22_1本次作业 2 2:3.53.6 ②E=E1C1P+E2C2 5丌2h 4ma
[练习] 在上述的无限深方势阱中,一个粒子的状态为 . 2 ( ) sin sin a x a x x = − 现多次测量该粒子的能量.求:①每次可能测到的值和相应概率; ②测量所得到的能量的平均值. sin ( 1,2, ); 2 = x n = a n a n ( 1,2, ); 2 2 2 2 2 = n n = ma E n 解: = − = + − 0 = ; 2 2 2 ( ) sin sin 0 2 0 2 a a a dx a x a x x dx a a ) 2 (sin sin 1 ( ) a x a x a x = − = − ); 2 sin 2 sin 2 ( 2 1 a x a a x a ; 2 1 2 1 ( ) x = 1 − 2 ; 2 1 , 2 1 C1 = C2 = − ; 2 1 , 2 2 2 1 2 2 1 = C = ma E ① . 2 1 , 2 2 2 2 2 2 2 = C = ma E . 4 5 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ma E E C E C ② = + = 本次作业： 3.5 3.6
§3.4一维线性诸振子 (x)U(x)力学系统在稳定 t------ 平衡点附近的运 h2 d'y 动都可简化为线 +-ox 2nd22 vy=Ev系 性谐振子的运动 单值有限连续 数 t 方 y"+ Bema 方)Ⅳy=0程 U=U(0)+U7(0)x+U(0)x2+ 归En=(m+)0=(n+)hy(m=012. U(0)=0:U”0)>0;Fs、dU →F≈-U(0)x mO√u/41 0 mD3+量子化U=1mhx2 丌h√2"n!"1nVh x)exp( 2h 2 能级 h Hermite多项式 间隔 H(y)=;H1(y)=2y;H2(y)=4y2-2; H3()=8y3-12y;H4(y)=16y2-48y2+12; E=-h 与经典谐振子的比较 2 基态的E0、W激发态的、Wn 量子概率波幅 典:/=0;形00)最小E连续;9Wnx)较均匀.量子概率密度 经 n=0 经典概率密度 >0;W0(0最大.En量子化;Wn(x)不均匀 0
o a x U( x ) U(x) o x (0) 0; (0) 0; ; dx dU U = U F = − F −U(0)x = (0) + (0) + (0) 2 + 2 1 U U U x U x §3. 4 一维线性谐振子 力学系统在稳定 平衡点附近的运 动都可简化为线 性谐振子的运动 m x E dx d m − + = 2 2 2 2 2 2 1 2 变 系 数 方 程 ) ( 0,1,2, ) 2 1 ) ( 2 1 En = (n + = n + h n = 2 ! 1 ( ) 1 / 4 n m n n = ( x) m Hn ) 2 exp( 2 x m − Hermite多项式 ) 1; H（0 y = ) 2 ; 1 H（y = y ) 4 2; 2 H（2 y = y − ) 8 12 ; 3 3 H（y = y − y ) 16 48 12; 4 2 H（4 y = y − y + ( ) ] 0 2 [ 2 2 + − = x m E m 单 值 有 限 连 续 归 一 量子化 能级 间隔 h E h 2 1 0 = n = 0 1 2 3 经典概率密度 量子概率密度 量子概率波幅 o x 2 2 2 1 U = m x 基态的E0 、 W0 经 典 量 子 激发态的En、 Wn 与经典谐振子的比较 =0; W0 (0)最小. >0; W0 (0)最大. En量子化; E连续; Wn (x)不均匀. Wn (x)较均匀. n
