SCHAUM'S ouTlines 全美经典 学习指导系列 量子力学 [美]Y.皮莱格D.普尼尼E.扎阿鲁尔著 邢泽仁宁铂译 获得好成绩的帮手 介绍了量子力学课程的所有内容 二百多道精解习题 掌握量子力学习题解法的工具 优秀教材的补充读物 科学出版社 麦格劳-希尔教育出版集团
全美经典学习指导系列 量子力学 〔美〕Y.皮菜格R.普尼尼E.扎阿鲁尔著 邢泽仁宁铂译 思聪审校 麦格劳希尔教育出版集团 2002
序言 毫无疑问,量子力学是物理学最重要而又最难学的一个分支,它是我们用最现代的观点理 解物质世界的基础 现在,有许多很好用的量子力学教科书可以买到每一种都有自己的持色和方法本书的 方法是提供给初学者大范围的有充足选择余地的问题和解答,这些问题和解答覆盖了量子力 学导论性课程的所有主要方面特别着重之处放在给出基本概念和结果学好量子力学导论的 部分任务涉及到掌握正规的(数学的)方法,这是因为要想有能力进人更高级的专题,掌握正规 方法是完全必要的我们努力给出能表明量子力学在解决实际问题时有应用价值的题目我们 还发现由于计算机已成为应用物理学家的重要工具,编人数值方法一章是非常有益的 我们渴望感谢对本书的完成有贡献和帮助的下列人员: Uri Onn博士、 Chair millad硕士、M ran furman 硕士和 Arga Bart硕士 我们希望本书将帮助量子力学的初学者克服最初的因难,掌握好这一令人神往而又重要 的学科, Y.皮莱格 R.普尼尼 E.扎阿鲁尔
目录 第一章导论… 1.1电磁辐射的粒子性… 1.2光的二象性……… 1.3实物粒子的二象性 (2) 1.4波包和测不准关系… (3) 第二章数学预备知识… 2.1复域C…………………………… 2.2C上的矢量空间 …………(10) 23线性算符和矩阵… ………………………………(10) 24本征矢量和本征值 …(12) 2.5傅里叶级数和傅里叶变换 (12) 2.6狄拉克8函数… 第三章薛定谔方程及其应用… (19) 3.1单粒子波函数 ……(19) 3.2薛定谬方程 (19) 3.3不含时势中的粒子… …(19) 34波函数的标量积算符 35概率密度和概率流 第四章量子力学基础 …………………(46) 1导论 (46) 4.2量子力学中的基本假设… (46) 4.3平均值和方差 ……(47) 4.4对易可观测量 4.5算符的函数………… 4.6厄米共轭… …(48) 47离散的和连续的态空间基……… (48) 4.8表象 ……………(49) 4.9时间演化…………… 4.10测不准关系 4.11薛定谔图像和海森伯图像 第五章谐振子……… …(74) 5.1导论…… 52厄米多项式………… (74) 5.3两维和三维谐振子… 54谐振子的算符方法 …(75) 第六章角动量 6.1导论 6.2对易关系… 6.3阵算符和升算符 64角动量代数 (91)
量子力学 6.5微分表示 6.6角动量的矩阵表示 (93) 6.7球对称势 68角动量和转动………… (94) 第七章自旋 (114 7.1定义……… …(114) 7.212自旋 (114) 73泡利矩阵 (114) 7.4降算符和升算符 75自旋空间的旋转… (115) 7.6与磁场的相互作用… 第八章类氢原子… (132) 8.1有心势场中的粒子 (132) 8.2两个相互作用的粒子… ……(133) 8.3氢原子 133) 84氢原子的能级 (134) 85平均值表达式… (135) 8.6类氢原 (135) 第九章电磁场中的粒子运动 (144 91电磁场及其有关的势 (144) 92电磁场中粒子的哈密顿量… (144) 93概率密度和概率流 (145) 9.4磁矩…………… …(145) 9.5单位制 (145) 第十章量子力学问题的解法—部分A 10.1定态微扰论 10.2非简并能级的微扰 (166) 10.3简并能级的微扰… (166) 10.4含时微扰论 (167 第十一章量子力学问题的解法——部分B (189) l1.1变分法… ……(189) 11.2半经典近似(WKB近似)…… ……(189) 第十二章量子力学的数值方法… 12.1数值积分 (203) 12,2函数方程求根 123常微分方程的积分…… 第十三章全同粒子 13.1引论 (218) 132置换与波函数的对称性………… (218) 13.3Bose子和Femi子 第十四章角动量(续)… (226) 14.1引论… 22,|j2|2,J2,2}对应的基 (226) 14.3CG系数 …(227)
第十五章散射理论 15.1散射截面 (246) 15.2定态散射 246) 15.3Bon近似 15.4分波展开………… 155全同粒子的散射 ………(249) 第十六章辐射的半经典处理 (273) 16.1辐射与原子系统的相互作用 (273) 16.2含时微扰论 (273) 16.3跃迁速率……… (274) 16.4多极跃迁……… (274) 16.5自发辐射 274) 数学附录 A.1傅里叶级数和傅里叶积分… A.2狄拉克8函数… A.3厄米多项式……… 勒让德多项式 A.5连带勒让德函数 (289) A.6球谐函数 A.7连带拉盖尔多项式 A.8球贝塞尔函数…
第一章导:论 1.1电磁辐射的粒子性 牛顿认为光是粒子東在19世纪,关于光的于射和行射的一些实验证明了光的波动性后 来,光学被纳人电磁理论,并证实光是一种电磁辐射然而,直到19世纪末仍在研究的黑体辐 射现象无法在电磁理论的框架内得到解释.1900年,普朗克得到一个解释黑体辐射的公式后 来证实这个公式可以从电磁辐射的量子化假设推导出来 1905年,推广普朗克的假说时,爱因斯坦提议,回到光的粒子理论他断言:频率为v的光 束由光子组成每个光子具有能量h,这里h=6.62×10J·s(普朗克常数),爱因斯坦指出 了为什么引入光子就能解释尚未理解的光电效应特性大约20年后,证实了光子作为特殊的 实物的确是存在的(康普顿效应,参看问题1.3) 光电效应是赫兹在1887年发现的,它是使电子逃离金属表面的几种物理过程之一图1-1 给出了研究光电效应所用装置的框图 图1-1 使得ev0=Em(从阳极发射出的电子的最大能量)的临界电压V被称为截止电压光电 效应的实验结果汇总在图12中 (a)当光照射在金属表面时,即使光强很弱,电流也几乎是同时产生 b)对于固定的频率和阻滞电势,光电流和光强成正比 (c)对于不变的频率和光强,光电流随阻滞电压v的增加而减小.直到最后当V=V时变为 零 (d)对于任何给定的金属表面截止电压V,依赖于光的频率但和光强无关对于每一种金 属都有一个阈值频率v,只有频率大于v的光才能产生光电子发射;即无论光强多大, 除非ν>v,都不会有电子从金属表面射出 截止电压和光频之间的实验关系可以用 (1.1)
量子力学 不同金属 斜率二h v电势 表示,这里h(普朗克常数)对所有金属都是相同的 1.2光的二象性 双缝实验例1.4表明,如果只考虑光的两个特性之一—波动性或粒子性一就无法解释 实验结果.光的行为同时地既像波又像粒子流;波动性使我们能计算粒子出现的概率粒子的 动力学参数(能量E和光子动量P)和波动参数(频率y和波矢k是关联的,表达式为 e= h 这里=h12x,这就是普朗克爱因斯坦关系 1.3实物粒子的二象性 在发现光子的同时代观察到原子物理的一个基本现象发现一种原子只发出或吸收确定 频率的光这一事实可以用如下的假设得到解释即原子的能量只能取确定的离散值这种离 散能级的存在由 Frank-hertz用实验证实玻尔在1913年用电子轨道的术语对此进行了解释, 并提出如下的氢原子模型 电子在限定的轨道上运动限制条件为角动量必须是n2x的整数倍对于半径为r的圆 形轨道,电子的速度由 1,2, (1.3) 给出库仑力和离心力之间的关系可以写成如下形式 这里-c是电子电荷我们假定核质量是无限大联立(1.3)和(1.4)我们得到
第一章导论 和 能量是 E x2 (1.7) 玻尔假设,这些轨道上的电子虽然有加速度,但绝不产生辐射,它们处在定态电子可以从一个 允许轨道到另一个做不连续跳跃能量的变化将以辐射方式体现出来,辐射频率为 E-E′ (1.8) 玻尔模型的物理基础到1923年仍不清楚,那一年德布罗意将假设向前推进一步,提出实物粒 子具有波动特性;能量为E、动量为p的粒子和角频率a=E/h波矢k=p/h的波相关联,因 而相应的波长是 h/p (1.9) 这就是德布罗意关系 14波包和测不准关系 电磁辐射和实物粒子的波动性和粒子性可以用波包的概念统一起来波包是波的叠加我 们可以构筑一个波列,波列中的波在一个给定的空间区域外面相互干涉几乎完全消失于是我 们得到一个局部的波包可以当成一个经典粒子的近似描述由平面波叠加形成的波包可以写 成 (2r) 或者,在一维情况写成 g(x)e e dk (1.11) 波包的展开式由薛定谔方程确定(参看第三章)当按照量子力学的假设(参看第四章)将波包 展开时曲线f(x)和g(k)的宽度要满足关系式 引用德布罗意关系p=枇,我们有 这就是海森伯测不准关系;如果我们试图在空间构筑高度局域化的波包那么与之相连的动量 就不能精确反之亦然,将波包的动量精确限制在一个很窄的范圉内,那么波包的空间范就 势必变得很宽注意,因为h很小,经典物理的观念只在微观体系失效(参看习题1.4和1.5), 测不准关系的作用是将实物粒子和辐射的波粒二象性统一起来 考虑波包时,应当弄清楚相速度和群速度的区别角频率为a=2mw波数为k=2m/入的 波,其相速度是
量子力学 相速度是相位不变的点在空间传播的速率当具有不同频率和不同相速度的一系列波合成,在 一个区域发生很强的相长干涉时,群速度是该区域前进的速度,它和分量波的角频率a和波 数k有关其关系式为 例题解答 1.1考虑1.1节描述的光电效应的四个实验结果对于每一个结果,讨论它是不是电磁波经 典性质所预期的结果我们分别讨论图12给出的每一个效应 解邮(a)电子逃逸金属表面是由于光束提供给它一份结合能因为电磁辐射的连续性我们预 期金嘱表面吸收約能量将正比于光束强度(单位时间单位面积的入射能量)正比于照射面积,正比于 照射时间筒单的计算(参看习题1.11)表明,在光强为10wm2情况下预期在100小时后才有光 电子发射实验表明对相问的光强观测到的时间延迟不超过10°因而经典理论无法解释阳极上电 子发射的瞬时性 (b)随着照射光能量的增加,阳极上电了吸收的能量也增加因而经典理论预言:射出电子的数目(从 而电流)将随光强成正比地增加这里,经典理论能够解释实验结果 (c)这一结果表明射出电子的能量存在一个分布在经典理论框架内该分布本身可能是起因于电子 和金属结合程度的不同或光束传递给电子的能量在数量上的变化,但事实是,这里存在一个截止电 势它和光强无关这一点说明逸出电子的最大能量的确不依赖于单位时间达到金属表面的能量的多 少经典理论无法解译该实验结果 (d)按照经典观点电子从阳极发射过程依赖于光的强度,而不依赖于光的频率但是,实验上存在一 个阈值频率,入射光艇小于它,无论光强多大都没有光电子发射该结果无法在经典理论框架内得到预 12用爱因斯坦光量子化假说的观点解释光电效应的实验结果像在问题1.1中一样,我们 分别讨论图12给出的每一个结果 解(a)按照光由光子构成的假说我们预期光子能够将其能量转移给金属中的电子因而光 电发射瞬时完成是合理的,既使在光强很弱的情况下,这一点和经典观念不同,经典观念认为电子发射 依赖于从光吸收能量的连续积黑 (b)从量子理论的观点考虑光强等于单个光子的能量乘以单位时间穿过单位面积的光子数目.因而 单位时间发射电子的数目(和电流等价)和光强成正比,是合理的 (c)电磁幅射的频率决定光子的能量h因而,金属中电子靠吸收光获得能量,于是对任何给定的频 率光电子都有一个最大的动能这就解释了图1,2中描述的效应 (d)如果我们假设电子的结合能,它是将电子紧紧束缚在金属上的最小能量,中=和,方程1.1就得到 简单的解释出射电子的最大动能是h-中应用截止电压的定义,eV是最大动能因而ev0=和 1.3考虑康普顿效应(图1-3)按照量子理论,频率为y的电磁波束可以看作是粒子性光子 束每一个光子具有能量E=hy和动量p=hc=h!/A,这里λ是波长电磁辐射的散射 变成光子和带电粒子的碰撞问题假设沿x轴运动的光子和质量为mn的粒子碰撞,碰 撞的结果,光子以θ角被散射,其频率发生变化找出作为散射角函数的光子波长的增 量 解首先粒子可能获得有意义的动能我们必须以相对论动力学的方式来使用它,应用能量 守恒我们得到 (碰撞前)hy 这里E是粒子的静止能量(上=mc2)入射和散射光子的动量大小分别是