《量子力学教程》 习题解答
1 《量子力学教程》 习题解答
《量子力学教程》 习题解答说明 为了满足量子力学教学和学生自学的需要,完 善精品课程建设,我们编写了周世勋先生编写 的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答 共分七章,其中第六章为选学内容。 第一章第二章第三章第四章第五章第六章 第七章
2 《量子力学教程》 习题解答说明 • 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完 善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写 的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答 共分七章，其中第六章为选学内容。 • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
目录 第一章绪论 ·第二章波函数和薛定谔方程 第三章力学量的算符表示 第四章态和力学量的表象 第五章微扰理论 第六章弹性散射 第七章自旋和全同粒子
3 目录 • 第一章 绪论 • 第二章 波函数和薛定谔方程 • 第三章 力学量的算符表示 • 第四章 态和力学量的表象 • 第五章 微扰理论 • 第六章 弹性散射 • 第七章 自旋和全同粒子
第一章筠论 1.黑体辐射公式导出维恩位移定律:An7=b,b=2.9×103mOC。 证明:由普朗克黑体辐射公式: 8mv31 P,dv= h 及v C dv d得 8rhc 1 令x=hC,再由2=0,得2所满足的超越方程为 2kT 5 用图解法求得x=497,即得 497,将数据代入求得nT=b,b=29×10mC 2kT
4 1. 1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律： m T b b m C 3 0 = , = 2.910 − 。 证明：由普朗克黑体辐射公式： d e c h d kT h 1 8 1 3 3 − = ， 及 c = 、 d c d 2 = − 得 1 8 1 5 − = kT hc e hc ， 令 kT hc x = ，再由 = 0 d d ，得 .所满足的超越方程为 1 5 − = x x e xe 用图解法求得 x = 4.97，即得 = 4.97 kT hc m ，将数据代入求得 , 2.9 10 m C 3 0 = = − T b b m 第一章 绪论
1.2.在0K附近,钠的价电子能量约为3eV,求 de broglie波长 h h 解:4=-= 709×10-0m=709A p√2mE # 13.氦原子的动能为E=kT,求T=1K时氦原子的 de broglie波长。 解:A h ≈1263×10-m=1263A p√2mE√3mkT 其中m=4003×166×102kg,k=1.38×10]K # 14利用玻尔一索末菲量子化条件,求 (1)一维谐振子的能量。 (2)在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场B=10T,玻尔磁子1=0923×1023J.T,求动能的量子化间隔AE,并与T=4K及 T=100K的热运动能量相比较。 解:(1)方法1:谐振子的能量Fp+Oq
5 1.2．在 0K 附近，钠的价电子能量约为 3eV,求 de Broglie 波长. 解： 0 10 7.09 10 m 7.09A 2 = = = − mE h p h # 1.3. 氦原子的动能为E kT 2 3 = ，求T = 1K 时氦原子的 de Broglie 波长。 解： 0 10 12.63 10 m 12.63A 2 3 = = = = − mkT h mE h p h 其中 4.003 1.66 10 kg −27 m = ， 23 1 1.38 10 J K − − k = # 1.4 利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场 B =10T，玻尔磁子 23 1 0.923 10 J T − − = B ，求动能的量子化间隔E ，并与T = 4K 及 T =100K的热运动能量相比较。 解：（1）方法 1：谐振子的能量 2 2 2 2 1 2 q p E = +
可以化为D 2E E 的平面运动,轨道为椭圆,两半轴分别为a=√2HE,b 相空间面积为 pdq=mb 2TE E mh,n=0.1,2, 所以,能量E=nhvn=0.1.2 方法2:一维谐振子的运动方程为q"+O2q=0,其解为 Asin(ot t 速度为q=Aco+),动量为p=1=A0cm+),则相积分为 d g=a2 coS"ot +o)at 2(+co(+)h42102rT mh,n=01,2, nh E nhv, n=0.1.2 6
6 可以化为 ( ) 1 2 2 2 2 2 2 2 = + E q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为 2 2 2 , E a = E b = ，相空间面积为 , 0,1,2, 2 = = = = = nh n E E pdq ab 所以，能量 E = nh ,n = 0,1,2, 方法 2：一维谐振子的运动方程为 0 2 q + q = ，其解为 q = Asin(t +) 速度为 q = Acos(t +)，动量为 p = q = Acos(t +)，则相积分为 ( ) ( ) nh A T t dt A pdq A t dt T T = + = + + = = 2 (1 cos ) 2 cos 2 2 0 2 2 0 2 2 2 ，n = 0,1,2, nh T A nh E = = = 2 2 2 ， n = 0,1,2,
(2)设磁场垂直于电子运动方向,受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由evB=,得R R B 再由量子化条件m2,,=R=武分别表示广义坐标和相应的 义动量,所以相积分为 1 eBR 电子的动能为E=三p2=A - --=nub 动能间隔为△E=2B=9×102J 热运动能量(因是平面运动,两个自由度)为E=kT,所以当T=4K时,E=452×1023J;当 T=10K时,E=1.38×1021J 7
7 （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由 R v evB 2 = ，得 eB v R = 再由量子化条件 pdq = nh,n = 1,2,3, ，以 2 2 , p = Rv = R = eBR 分别表示广义坐标和相应的 广义动量，所以相积分为 p d = p d = Rv = eBR = nh 2 2 0 2 2 ， n =1,2, ，由此得半径为 eB n R = ，n =1,2, 。 电子的动能为 n B eB n e B eBR E v B = = = = 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 动能间隔为 E B J B 23 9 10− = = 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E = kT，所以当T = 4K 时， E J 23 4.52 10− = ；当 T =100K时， E J 21 1.38 10− =
1.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对,如果两个光子的能量相等,问要实现这种转化,光子 波长最大是多少? h 解:转化条件为hv≥c2,其中为电子的静止质量,而v=,所以A≤,即有 C h 6626×10-34 c9.1×10-31×3×108 ≈0024A(电子的康普顿波长)。 8
8 1.5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两个光子的能量相等，问要实现这种转化，光子 波长最大是多少？ 解：转化条件为 2 h c e ，其中 e 为电子的静止质量，而 c = ，所以 c h e ，即有 0 31 8 34 max 0.024A 9.1 10 3 10 6.626 10 = = = − − c e c h （电子的康普顿波长）
第二章波函数和萍定浮方 2.1证明在定态中,几率流与时间无关。 证:对于定态,可令 (,t)=v()f(t) Et y(r)e (vy -yvy 2m 物y()ebV(v()eh)-v'(r)ehV((rke冷 i 2 2m ly()Vy()-w()Vy(r)] 可见J与t无关
9 第二章 波函数和薛定谔方程 2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令 [ (r) (r) (r) (r)] 2m i [ (r)e (r)e (r)e (r)e ] 2m i ( ) 2m i J (r)e (r t) (r)f(t) * * E t i E t i * * E t i E t i * * E t i = − = − = − = = − − − − − （ ） （ ） ， 可见 J与t 无关
2.2由下列定态波函数计算几率流密度: (2)y2= -ik 从所得结果说明v1表示向外传播的球面波,v2表示向内(即向原点)传播的球面波 解:J和J2只有r分量 在球坐标中V=x+e0+ or ra0' rsing ao (1) ( -UiVyu 2m 2m r i-)--(2+i-) 2m r hk 与同向。表示向外传播的球面波。 10
10 2.2 由下列定态波函数计算几率流密度： ikr ikr e r e r − = = 1 (2) 1 (1)1 2 从所得结果说明1表示向外传播的球面波， 2 表示向内(即向原点) 传播的球面波。 解： J1和J 2只有r分量 在球坐标中 + + = rsin 1 e r 1 e r r0 r mr k r mr k r r ik r r r ik m r r i e r r r e r e r r e m r i m i J ikr ikr ikr ikr 2 0 3 2 2 0 0 1 * 1 * 1 1 1 )] 1 1 ( 1 ) 1 1 ( 1 [ 2 )] 1 ( 1 ) 1 ( 1 [ 2 ( ) 2 (1) = = = − − − − + − = = − − − J r 1 与 同向。表示向外传播的球面波