《大学物理》课程PPT教学课件：第二十讲 波函数

第二章波函数 §2.1物质波的概率解释→不确定关系式 概率波(几率波) 电棘束|强弱入射都得衍射图 46 实物粒子的物质波就是概率波 量子物理认为 电子衍射 光的衍射 不能说粒子确定处于某个状态,明条纹 明条纹 只能说粒子在各处的概率密度;电子密度大光子密度大 概率波的干涉结果 不能说粒子运动具有确定轨道,每个电子到达每个光子到达 只能说粒子运动的概率云分布.该处的概率大该处的概率大 .不确定关系式 根源是粒子的波动性=孔=hlp ()坐标动量不确定关系光子和实物粒子都成立 △Ax~d Ax:4p≥h2;4y4p,≥h2;4z·4p,≥h2 AP,- p4e (二)能量—时间不确定关系 证明?4x:4D2~h 能级自然宽度4E·4t≥h/2体系处于该能级的寿命 不确定度

x z Dq d 电子束 x z Dq d 光束 强弱入射都得衍射图 电子衍射 光的衍射 明条纹 ↑ 电子密度大 ↑ 每个电子到达 该处的概率大 明条纹 ↑ 光子密度大 ↑ 每个光子到达 该处的概率大 二.不确定关系式   2;   2;   2 x y z Dx Dp Dy Dp Dz Dp 第二章 波函数 §2.1 物质波的概率解释→不确定关系式 一.概率波(几率波) 实物粒子的物质波就是概率波 不能说粒子确定处于某个状态, 只能说粒子在各处的概率密度; 不能说粒子运动具有确定轨道, 只能说粒子运动的概率云分布. 量子物理认为 Dx ~ d, D p ~ pDq, x DxD px ~ h 不确定度 dDq    h/ p, (一)坐标—动量不确定关系 (二)能量—时间不确定关系 能级自然宽度 D E  Dt   2 体系处于该能级的寿命 根源是粒子的波动性 光子和实物粒子都成立 概 率 波 的 干 涉 结 果 证明？

(三)用不确定关系作数量级估算 「例一]说明原子中电子轨道运动的概念没有意义 解原子的线度约10-0m→4x~10m→4p42, 10°m/s; 2mAx 原子中电子的动能,m2~10V→p~10°m/s→4v~p 「例三质量为m粒子被限制在宽为a的势阱中运动.被约束粒子 试估算它的最小平均能量值 的普遍性质 解x≤a;左右运动几率均等→2=0;→P2=(-D)2=(4p); 4x:Ap2→Ⅳ≥,2;→E m 4 2 8mm2→(E 8mn≠0 「例三讨论原子发光的波列长度 =h/1,4p2=hA/x2-个光子对应一个光波列 22 单色性越好→波列越长 将Av粗略地 P 4兀△元 x 单色光波→波列先限长看作波列长度 例四]讨论谱线自然宽度( (natural width)与能级有限寿命的关系 解:V=(En-E0)h;E有寿命△,→En不确定AEn≥h/(2At); →v=AEn/h=1/4x4,→A=4v·x2/c=x2(4cAt

(三)用不确定关系作数量级估算 [例一] 说明原子中电子轨道运动的概念没有意义. 解:原子的线度约10 －10 m x m 10 ~ 10   D ~ 10 / ; 2 6m s m m x p v x x D D D     原子中电子的动能 m v ~ 10eV 2 0 2 1  v ~ 10 6m / s  D v ~ v [例二] 质量为m的粒子被限制在宽为a的势阱中运动. 试估算它的最小平均能量值 Dx  a; ; 2  D xD px    0; x p ( ) ( ) ; 2 2 2 x x x x  p  p  p  D p    ; 2 8 2 2 2 m ma p E x k  解: 左右运动几率均等 ; 4 2 2 2 a px    被约束粒子 的普遍性质 0 ; 8 ( ) 2 2 min   ma E   , D , 2 D px  hD /  D  D D 2 4 2   px x  将 粗略地 看作波列长度 Dx [例三] 讨论原子发光的波列长度. 一个光子对应一个光波列 单色性越好→波列越长 单色光波→波列无限长 ( )/ ;   En  E0 h [例四] 讨论谱线自然宽度(natural width)与能级有限寿命的关系. 解: En有寿命Dt, En不确定 E /( 2 t); D n   D  D  DEn / h  1 /(4Dt), / /(4 ) 2 2 D  D   c   cD t p h/ , x 

§22波函数德拜…薛定谔(1925)…玻恩(1920)… 物质波的波函数量子力学第一假设 经典波函数的复数表示 (一)微观粒子的运动状态由波函数描述 y=A(r)cos(k·r-t) (二)自由粒子波函数 y=ReA(r)ei(k- F-or Y(, t)=Ae(p-x-Et)/h →Y(F,)=A()e (k·r-mt) (三)其他粒子的波函数也表为复数(F,) 平面波的波函数 波函数的统计诠释←给出概率波概念 (x,t)=Ae(kx-01) (-)概率密度Y,1y(G,={,x) r==mm=====m= 时刻在单位体积内发现单个粒子的概率自E=常数,D=常矢 平 自由粒子的概率密度是常数 由粒子 O=E/h,k=p/h面 波 (二概率振幅(F,) O=常数,k=常矢 本身并不表示几率也不表示任何物理量 使量子力学根本不同于经典统计 ①预言粒子运动的力学量取值(取各个可能值的概率); ②得出非寻常量子性质(如量子纠缠:③指明重要应用前景(如量子信息

(二)自由粒子波函数 §2.2 波函数 德拜…;薛定谔(1925) …;玻恩(1926) … y  A(r)cos(k r t);   Re{ ( ) }; i(k r t) y A r e       ( , ) ( ) ; i(k r t) r t A r e           一 经典波函数的复数表示 .物质波的波函数 (一)微观粒子的运动状态由波函数描述 量子力学第一假设 ( )/  ( , ) i p x Et x t Ae     平面波的波函数 ( , ) ; i(k x t) x t Ae       E  常数 p  常矢  ,      E / , k  p /  常数 k  常矢   , 平 面 波 自 由 粒 子 (三)其他粒子的波函数也表为复数 (r,t)   二.波函数的统计诠释 给出概率波概念 2 (r,t) (r,t) (r,t)        (一)概率密度 自由粒子的概率密度是常数 (r,t)  (二)概率振幅 本身并不表示几率,也不表示任何物理量 ②得出非寻常量子性质(如量子纠缠)；③指明重要应用前景(如量子信息). ①预言粒子运动的力学量取值(取各个可能值的概率)； 使量子力学根本不同于经典统计 t时刻在 r处单位体积内发现单个粒子的概率 

三波函数必须满足的条件 (-)自然(标准化)条件:单值;有界;连续可微;平方可积 (二)归一化条件:粒子在全空间各点 出现的概率总和为/(F,1)a=1 (全空间) y(F,1)·e6不影响归一化CY和平描述同一量子态:有别于经典波 「例题]将下列波函数归一化: 归一化的方法 Φ(x,t)=exp(-a"x/2). 未归一化∫g(,0)=A(≠1) 解:法一:ax,)2k=exp(x2)已归-化HG,)=10V,) 1/2 Φ(x,t) 2 √丌 dx p(x,t) exp(-a'x ) 法二:设归一化因子C,则归一化的波函数y(x)=cewp(a2x2/2) ∫Nr(x)2d=1→cP2 /2 2→C=(a/m12) 1/2i8 =a/元 1/211/2 乎(x /兀

三.波函数必须满足的条件 (一)自然(标准化)条件: 单值; 有界; 连续可微; 平方可积. (二)归一化条件: 粒子在全空间各点 出现的概率总和为1 ( , ) 1 ( ) 2   全空间 r t dV    (r,t) e i 不影响归一化  C 和 描述同一量子态 有别于经典波 ( , ) ( 1); 2  r t dV  A   未归一化  ( , ) ( , ); 1 r t r t A   已归一化    [例题] 将下列波函数归一化: 归一化的方法 ( x ,t ) exp( x / 2 ). 2 2    解: ( x ,t ) dx ;           2 ( , ) exp( ) ; 2 2 2        x t dx  x dx exp( x ). / / ( x , t ) 2 2 1 4 1 2        法一: 设归一化因子C，则归一化的波函数   exp  2 2 2 法二:  x  c  x    ( )  1 2 x dx 2 1/ 2 | c |  a /    / / i c (a / ) e 1 2 1 2      2 1 2 1 2 2 2 exp x / /   x  ( a /  ) 

======== 经典波动方程是线性的经典波的线性叠加原理经典波的干涉和衍射}“物质波? §23量子态叠加原理 状态叠加原理量子力学第二假设啪棘 若体系具有一系列互异 的可能状态{1,2,}, 则这些状态的 电子衍射 光的衍射 线性叠加态Y=∑CH 也是系统的可能状态 位置不同,密度不同位置不同,光强不同 不同的对应不同的平面波!位置不同不同位置不同备不同 vp()=Aexp(Ppr-E)不同动量的相干)平面不同相位(相干) 位置不同,动量p不同 概率波的线性叠加:光波的线性叠加 思考:*波函数的物理含义及所揭示的物理本质 宇宙中事物偶然性是根本的,必然性是偶然性的平均表现 电子双缝 干涉理论大量的偶然性事件中蕴涵着必然性的规律!本次作业: 表述 波函数完全描述了量子系统的状态! 23252.7(1) 返回

x z Dq d 光束 x z Dq d 电子束 若体系具有一系列互异 的可能状态 , 则这些状态的 线性叠加态 也是系统的可能状态 经典波动方程是线性的   iCii 经典波的线性叠加原理 经典波的干涉和衍射 物质波? §2.3 量子态叠加原理 电子衍射 光的衍射 位置不同,光强不同 ↑ 不同相位(相干) 光波的线性叠加 ↑ 位置不同, 不同 2 E 合 位置不同,密度不同 ↑ 位置不同, 不同 2  合 ↑ 不同动量的(相干)平面 概率波的线性叠加 ( , ) exp[ ( )/]     r t A i p r Et p     不同的 p 对应不同的平面波  位置不同,动量 p 不同  一.状态叠加原理 1 ,2 , 量子力学第二假设 宇宙中事物偶然性是根本的,必然性是偶然性的平均表现! 大量的偶然性事件中蕴涵着必然性的规律! 波函数完全描述了量子系统的状态! *波函数的物理含义及所揭示的物理本质 思考： 电子双缝 干涉理论 表述 本次作业： 2.3 2.5 2.7(1) 返回

思考:电子双缝干涉实验中,由S缝通过的电子态用波函数v描 写,由S2缝通过的电子态用波函数v描写,讨论屏幕上的电子分 布 参考解:S1打开时,电子在屏幕上的分布是:v S2打开时,电子在屏幕上的分布是:w2 当两缝都打开时,投射到屏幕上的电子态应是: 平=c1+c2W2 c1c2是两个复常数。 根据物质波的几率解释,屏幕上的电子分布: y=e.+cv2+cicviv2+c, 2 式中前两项分别是电子波通过S1,S2两缝时屏幕上电子的分布, 第三、四项是干涉项 返回

 1  2 2  1 2  2 1 1 2 2 ＝c  c * 1 2 * 2 1 2 * 2 1 * 1 2 2 2 2 1 1 2  ＝c  c   c c    c c   思考：电子双缝干涉实验中，由S1缝通过的电子态用波函数 描 写，由S2缝通过的电子态用波函数 描写，讨论屏幕上的电子分 布。 参考解： S1打开时，电子在屏幕上的分布是: S2打开时，电子在屏幕上的分布是: 当两缝都打开时，投射到屏幕上的电子态应是: c1 ,c2是两个复常数。 根据物质波的几率解释，屏幕上的电子分布: 式中前两项分别是电子波通过S1，S2两缝时屏幕上电子的分布， 第三、四项是干涉项。 返回

证明:从坐标动量不确定关系导出能量时间不确定关系,即 △r△p≥h2→△E·△t≥h/2 证:由动量能量关系c2p2=E2-m2c4 E 两边取微分 cpAP=E△E→△P=△E P 由位移时间关系Δr=vt=P△t E E →△r·△P △t △E 2△E.△=△E·△ c p →△E·△t≥ 九2 返回

Dr Dp   2  D E  Dt   2 证明：从坐标动量不确定关系导出能量时间不确定关系，即 证： 由动量能量关系 4 0 2 2 2 2 c p  E  m c 两边取微分 c pDP  EDE 2 E c p E  DP  D 2 t m p 由位移时间关系 Dr  vDt  D E t E t mc E E c p E t m p  DrDP  D  D  D D  D  D 2 2 2   DE  Dt  返回

佐束