第二部分振动和波 第一章振动 第二章波动 *第三章非线性振动与混沌 预期学时:16学时
*预期学时：16学时 第二部分 振动和波 第一章 振动 第二章 波动 *第三章 非线性振动与混沌
第一章振动(Ⅴ ibration) 振动有各种不同的形式:机械振动;电磁振动; 广义振动: 任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化 振动的分类: 振动受迫振动 自由振动有阻尼自由振动 无阻尼自由非简谐振动 无阻尼自由振动 无阻尼自由简谐振动 自然界各种复杂的振动都可表示为简诸振动的合成 主要内容:§11简谐振动运动学 §12简谐振动动力学 §13阻尼振动受迫振动和共振*预期学时 §1.4-§1.5简谐振动的合成8学时
第一章 振 动(Vibration) 振动有各种不同的形式: 振动的分类: 机械振动; 电磁振动; 广义振动: 任一物理量(如位移、电流等)在某一数值附近反复变化. 自由振动 受迫振动 振动{ 无阻尼自由振动 有阻尼自由振动 { 无阻尼自由非简谐振动 { 无阻尼自由简谐振动 主要内容: §1.1 简谐振动运动学 §1.2 简谐振动动力学 §1.3 阻尼振动 受迫振动和共振 §1.4~§1.5 简谐振动的合成 自然界各种复杂的振动都可表示为简谐振动的合成 *预期学时： 8学时
s11简诸振动运动学 简谐振动 (一)定义:相对平衡位置的位移 随时间按余弦或正弦规律变化△△△人 表达式:x()=Ac0s(计+q) o r X 特点:1等幅振动;2周期振动x()=x(tT) (二)简谐振动的三个特征量 1.振幅( amplitude)A-最大位移量,4>0 2.率 frequency)p-单位时间内完成的全振动的次数; 圆频率( angular frequency)O=2丌v 周期( period)T-完成一次全振动需要的时间,T=1/v 3相位( phase:(1)t时刻的相位g=(ot+qp); ()初相位 (initial phase)g:t=0时刻的相位
§1.1 简谐振动运动学 一. 简谐振动 表达式:x(t)=Acos( t+) 特点: 1.等幅振动; 2.周期振动 x(t)=x(t+T ) (二)简谐振动的三个特征量 1. 振幅(amplitude) A---最大位移量,A>0; 2.频率(frequency) v---单位时间内完成的全振动的次数; (1) t 时刻的相位 =( t +0 ); (2)初相位(initial phase) 0:t =0时刻的相位. (一)定义:相对平衡位置的位移 随时间按余弦(或正弦)规律变化. • O x X X 圆频率（angular frequency） = 2 周期 (period) T---完成一次全振动需要的时间, T = 1/ 3.相位(phase):
二.简谐振动的描述方法 (一)解析法x=Acos(at+p) MA八 已知表达式→A、T、q A八 已知A、T、φ→表达式 o r X (二)曲线法 ↑yC 丌/2 已知曲线 A、T、p 0 已知A、T、→曲线 (三)旋转矢量法 用旋转矢量图方法来 t=0 解题简明、直观,应优 先采用此方法 x=acoslfot+op)
二. 简谐振动的描述方法 (二)曲线法 o A -A t x T (一) 解析法 x = Acos( t +) 已知表达式 A、T、 已知A、T、 表达式 已知曲线 A、T、 已知A、T、 曲线 (三)旋转矢量法 t = 0 o x t+ t = t A x = A cos ( t + ) 用旋转矢量图方法来 解题简明、直观,应优 先采用此方法. = - /2 • O x X X
x1=A1cos(a1t+中) 三两个简诸振动步调的比较 x,=A, cos(a, t+B) ()相位差 phase difference):△g=(02t+g2)-(ot+g,) 当两个振动频率相同时:△q=2-9 与时间无关 (二)同相和反相 △q=±2k兀,(k=0,1,2,…)→两振动步调相同,称为同相( in phase) △q=±(2k+1兀,(k=042,…)→两振动步调相反,称为反相 antiphase) x1同相 1 X 反相 2 2 x 2 (三)超前和落后 △φ>0,→,x2超前x1△q(或x落后x2△q) △q<0,→,x2落后x1△p(或x超前x△q)-A 超前和落后是相对的,通常限制:-丌<△p≤z
三.两个简谐振动步调的比较 (二)同相和反相 cos( ) 1 = 1 1 + 1 x A t cos( ) 2 = 2 2 + 2 x A t ( ) ( ) = 2 + 2 − 1 +1 (一)相位差(phase difference): t t 当两个振动频率相同时: = 2 −1 与时间无关 = 2k, (k = 0,1,2, ) 两振动步调相同,称为同相(in phase) = (2k +1),(k = 0,1,2, ) 两振动步调相反,称为反相(antiphase) t x o A1 -A1 A2 - A2 x x1 2 T 同相 x2 T x o A1 -A1 A2 - A2 x1 t 反相 (三)超前和落后 0, , ( ) x2超前x1 或x1落后x2 0, , ( ) x2落 后x1 或x1超 前x2 x2 T o A1 -A1 A2 x1 超前和落后是相对的, 通常限制: −
四简谐振动的速度和加速度 x= Acos(at+op) (一)简谐振动的速度D d dt -oAsin(at +) U=aAco(a+φ+);}速度也作简谐振动, 振幅:υ=a4;相位:比x超前 2 -)简谐振动的加速度a=“=-02Acos(at+q); a=-02x;a=m2Acos(t+q+丌);加速度也作简诸振动, 他与位移成正比而反向,振幅:a=24; 相位:比超前名,比x超前z 02A C, D, a OA 减速加速 减速加速
四.简谐振动的速度和加速度 (一)简谐振动的速度 = = −Asin(t +); dt d x cos( ); 2 = A t + + 速度也作简谐振动， : ; 振幅 max = A 2 : 相位 比x超前 > 0 0 a 0 > 0 减速 加速 减速 加速 A - A -2A a 2A x,,a o T t A x -A x = Acos(t +) cos( ); 2 2 2 a = = − A t + dt d x (二)简谐振动的加速度 ; 2 a = − x cos( ); 2 a = A t + + 他与位移成正比而反向, 加速度也作简谐振动, : ; 2 振幅 a max = A 相位:比v超前 2 ,比x超前
例:已知一个振动的振动曲线 r(m) 如图根据图中标示的数据(1)求 出该振动的三个特征量:2)振动 的解析表达式;(3)图中a、b点对 1/8 9/48 应时刻的振动相位;(4)1/12秒 0.01 时刻的振动速度和加速度 学员练习: 解:(1)A=0.01m;7=16s;=6Hz;O=12xs1 P1701.5 0=0.01cos(12兀 48 +q0); 本次作业: →12兀·。+q=/2→甲0=T/4 141.6 48 (2)解析表达式:x=0.01cos(12丌t+z/4)(SY)1 T (3)qn=3/2;q=7/4.T=1s t=0 (4)v=-0.01(12n)sin(z+x/4) ≈0.27(ms-) a=-0.01·(12)2cos(x+x/4) ≈10.05(ms2) t==T 8
x o T s 6 1 = [例]:已知一个振动的振动曲线 如图.根据图中标示的数据,(1)求 出该振动的三个特征量;(2)振动 的解析表达式;(3)图中a、b点对 应时刻的振动相位;(4)t=1/12秒 时刻的振动速度和加速度. x = 0.01cos(12 t + / 4) (SI) a x(m) t(s) − 0.01 1/ 48 9 / 48 0.010 b 解: (1)A=0.01 m;T=1/6 s;ν=6 Hz;ω=12π s -1 . cos( ); 0 48 1 0 = 0 01 12 + 2 4 48 1 12 0 0 + = / = / (2)解析表达式: (3) = 3 / 2; a = 7 / 4. b (4) 0.27( ) 0.01 (12 )sin( / 4) −1 = − + ms v 10.05( ) 0.01 (12 ) cos( / 4) 2 2 − = − + ms a t = 0 t T8 1 = t T8 5 = t T8 6 = t T8 4 = 学员练习： P170 1.5 本次作业： 1.4 1.6
1.简谐振动的描述方法 上次课回顾 (1)解析法x=Acos(Ot+9) (2)曲线法1x ⑩t+q t=0 4 (3)旋转矢量法 2简谐振动的速度和加速度x=Acos(x+q) D=ACos(ot+o+); a=@Acos(@t+o+r); 2A x, U
2.简谐振动的速度和加速度 cos( ); 2 = A t + + A - A -2A a 2A x,,a o T t A x -A x = Acos(t +) cos( ); 2 a = A t + + 1. 简谐振动的描述方法 上次课回顾 (1) 解析法 x = Acos( t +) (2) 曲线法 o A -A t x T (3)旋转矢量法 t = 0 o x t+ t = t A
§12简诸振动动力学 简谐振动的动力学方程 已知F(x) F=-hack 解出F(x) 求解 Mr=-no x 微分 方程 解出xx=Acos(ar+q)知x (-)受力特点:线性恢复力(F=-kx) k不一定是弹性系数有时将F k称为准弹性力和准弹性系数 (二)有角频率a=√k/m; 决定于系统内在性质 (v=1√k/m;T=2n√m/k) (三)确定唯一解需两个初始条件:x=Ac0sq;V=- MAsin A=x0+1/a p=tan(vo/ax)
， x0 = Acos;v0 = −Asin / ; 2 2 0 2 A = x0 + v tan ( / ) 0 0 1 = −v x − x = Acos(t +) x x 2 = − mx m x 2 = − F = −kx 解出F(x) 已知x(t) 求解 微分 方程 已知F(x) 解出x(t) §1.2 简谐振动动力学 一. 简谐振动的动力学方程 (一)受力特点: 线性恢复力 (F= -kx) k不一定是弹性系数,有时将F、 k称为准弹性力和准弹性系数. (二)固有角频率 = k / m; ( / ; 2 / ) 2 1 k m T m k = = 决定于系统内在性质 (三)确定唯一解需两个初始条件:
二简谐振动的能量 E=mo (-)简谐振动系统的能量特点 1动能E=2msin(Ot+y)yE= -kA sin(ot+ E Ear=MO?A t+T 4 E 2势能E,/句02A2c0(t+;En=,kA2cos2(at+φ) ∫E=mo2A2=k 不一定是弹性势能而是系统各 P 种势能的总和统称为振动势能 3总机械能E=2m0A4=kA 总机械能守恒 E (1/2)k4 E.→E ""·M (二)由起始能量求振幅A=√E,/k=√2E,(moD)与初能量和
二.简谐振动的能量 (一)简谐振动系统的能量特点 1.动能 sin ( ); 2 2 2 2 1 Ek = m A t + sin ( ) 2 2 2 1 Ek = kA t + 2 2 2 4 1 4 1 1 E E dt m A kA t T t k = T k = = + 2.势能 cos ( ) 2 2 2 1 cos ( ); E p = kA t + 2 2 2 2 1 E p = m A t + 不一定是弹性势能,而是系统各 种势能的总和,统称为振动势能. 2 2 1 Ek = m 2 2 1 E p = kx 2 2 2 4 1 4 1 1 E E dt m A kA t T t p = T p = = + 3.总机械能 2 2 2 2 1 2 1 E = m A = kA 总机械能守恒 E E p = Ek Ep x T t o (二)由起始能量求振幅 2 / 2 /( ) 2 A = E0 k = E0 m (只与初始能量和 振子性质有关.) Ek (1/2)kA2