第四章刚体力学 概述 质[分立的质点组成的质点系 气体 点系 大量微分“质先”(mass 液体刚体 element) 组成的宏观连续体 固体… 形变可以忽略的物体 “刚体” 刚体上各个质元相对位置固定 (rigid body 刚体是理想模型
“刚体” (rigid body) 质 点 系 分立的质点组成的质点系 大量微分“质元”(mass element) 组成的宏观连续体 气体 液体 固体 刚体 …… 形变可以忽略的物体 刚体上各个质元相对位置固定 刚体是理想模型 第四章 刚体力学 概述
刚 平动 体运动 定轴转动 §4.1 体学转动定点转动 §4.2 力刚定轴转动动力学力矩角动量关系§43 学体 动力 定点转动动力学 功能关系 §44 学平面运动动力学 进动陀螺仪□§4.5 §4.6 六预期学时:6学时
刚 体 力 学 刚 体 运 动 学 刚 体 动 力 学 平动 + 转动 定轴转动 定点转动 §4.1 定轴转动动力学 定点转动动力学 平面运动动力学 力矩角动量关系 §4.2 §4.3 功能关系 §4.4 *进动 陀螺仪 §4.5 *§4.6 *预期学时：6学时
s41刚体运动学 一.刚体的平动 (translation 刚体上任意两质元的连线在空间的取向始终保持不变 (后一时刻的取向总与前一时刻的取向保持平行) .=a 平动时,刚体上各质元的 速度和加速度相同。 通常用刚体质心的运动来代表刚体的平动
平动时，刚体上各质元的 速度和加速度相同 。 §4.1 刚体运动学 一. 刚体的平动(translation) 刚体上任意两质元的连线在空间的取向始终保持不变 （后一时刻的取向总与前一时刻的取向保持平行） 通常用刚体质心的运动来代表刚体的平动。 rij j i rij j i o ri rj ai aj = vi v j = i ij j r r r = +
二.刚体的转动rtio 某时刻所有质元绕同一条直线作圆周运动 轴上各点瞬时静止 △O 轴外各点的角速度和角加速度相同: de R=d0 刚体 基点O4 dt dt ,c反映轴向、转动快慢及轴向的改变 瞬时轴 在瞬时轴上选一点作为基点: 旋转加速度向轴加速度 P点线速度ν=×=0×F d d r P点线加速度l= ×r+0× dt dt
; dt d = P点线速度 v = r = r ⊥ P点线加速度 r v d t dr r d t d d t dv a = = + = + 旋转加速度 向轴加速度 瞬时轴 P 刚体 v • r 基点O• 二. 刚体的转动(rotation) 某时刻所有质元绕同一条直线作圆周运动. 轴上各点瞬时静止. 轴外各点的角速度和角加速度相同: dt d = , 反映轴向、转动快慢及轴向的改变. ω 在瞬时轴上选一点作为基点: r
定点转动(fxed- pointrotation 瞬时轴上仅有一点固定不动 比如陀螺、雷达天线 转动平面 定轴转动 转动中心 (fixed-axis rotation) 刚体基点O 转轴上的各点均固定不动. 比如砂轮、电机转子等 参考方向轴轴 O,c退化为代数量,刚体上任意点都绕 同一轴作圆周运动,且o,a都相同。 v=r. =0+ct a,r@ a=const. =(0-8)=0t+iat r a d t Q2-2=2a(6-6)
P 刚体 v • r r 基点O• ω 定轴转动 （fixed-axis rotation） 瞬时轴 瞬时轴上仅有一点固定不动. 比如陀螺、雷达天线 转轴上的各点均固定不动. 比如砂轮、电机转子等. 定点转动(fixed-pointrotation） 退化为代数量，刚体上任意点都绕 同一轴作圆周运动，且，都相同。 , v = r⊥ 2 a n = r⊥ = = r⊥ dt dv at = const. − = − − = + = + 2 ( ) ( ) 0 2 0 2 2 2 1 0 0 t t t θ α 固定轴 参 考 方 向 转动平面 转动中心
刚体的一般运动:随基点的平动+绕基点的转动 基点的平动随基点选取不同而不同 ,但是绕基点的转动与基点的选取 0 无关即角位移与转轴的位置无关 △69 刚体的平面运动 ane motion) 各质元都在与某一固定平面相平行 的平面内运动,轨迹都是平面曲线 刚体沿一条直线滚动不 平动与平面运动有区别 是平动,但是是平面运动 基+「基→v=卩基+Dx1基 选质心为基点:=p+O×P C 选瞬心为基点:1=O醋解=n+aR0
o′ o′ · · Δ o Δ · o 基点的平动随基点选取不同而不同 ，但是绕基点的转动与基点的选取 无关.即角位移与转轴的位置无关. 刚体的一般运动:随基点的平动+绕基点的转动. 三.刚体的平面运动 (plane motion) 各质元都在与某一固定平面相平行 的平面内运动,轨迹都是平面曲线. 平动与平面运动有区别 刚体沿一条直线滚动不 是平动,但是是平面运动. p 基 p基 p 基 p基 r r r v v r = + ; = + 选质心为基点: p C pC v v r = + 选瞬心为基点: P P瞬 v r = = + = 0 C R C v 瞬 v 瞬
例1:一圆柱体在地面上沿直线作无滑纯滚动已知质心C的速度 为ν。,圆柱体半径为R,求边缘上A,B,E,D四点的速度 解:ν。=卩+O×F v=vc-O=0;→mR=p 2v 2 v=√21 求瞬心位置的方法 方法一:公式法; B 瞬=1c+o×Rn =0 瞬C B 方法二几何法
R A D E C C v B 0 X Y [例1]:一圆柱体在地面上沿直线作无滑纯滚动.已知质心C的速度 为 ，圆柱体半径为R ，求边缘上A,B,E,D四点的速度. C v 解: p C pC v v r = + v = v − R = 0; E C C R = v 2 ; A C v = v 2 ; B C v = v 2 ; D C v = v 求瞬心位置的方法 0 : ; v 瞬 = vC + R瞬C = 方法一 公式法 方法二:几何法; A v A B v B S
刚体运动的自由度 自由度( degree of freedom) 确定一个运动物体位置所需要的独立坐标数目(直角坐标球坐标柱坐标) 二质点的自由度: 个自由质点有3个自由度; 个被约束于曲面上运动的质点有2个自由度; 个被约束于曲线上运动的质点有1个自由度; 有N个自由质点的系统有3N个自由度 三刚体的自由度(无穷多个质量元彼此固连相互约束,并不独立) 三个平动自由度决定质心位置; 三个转动自由度:二个决定转轴方位; 个决定绕轴自转; 自由刚体有6个自由度; 定点转动有3个自由度 定轴转动有1个自由度; 平面运动有3个自由度;
一个被约束于曲线上运动的质点有1个自由度; *刚体运动的自由度 一.自由度(degree of freedom): 二.质点的自由度: 一个自由质点有3个自由度； 一个被约束于曲面上运动的质点有2个自由度； 确定一个运动物体位置所需要的独立坐标数目(直角坐标,球坐标,柱坐标). 有N个自由质点的系统有3N个自由度. 三.刚体的自由度 (无穷多个质量元,彼此固连,相互约束,并不独立.) x y z o 三个平动自由度:决定质心位置； 三个转动自由度:二个决定转轴方位; 一个决定绕轴自转; 定点转动有3个自由度； 自由刚体有6个自由度; 定轴转动有1个自由度; 平面运动有3个自由度；
§42、§4.3、§4.5刚体转动中的角动量问题 刚体定轴转动的角动量定理 (一)定轴转动中的角动量 U=dh×v=dm×(o×r =dhm(k+)×[o×(x+n1 dm·o(+n1)×[k×F dmo(×[k×五]+f×[k×F1 dm·a(-a+rk) L=J=∫dm:a(-z-+r2k) 基点O o」zF1 +ka∫n2dm 固定轴 L1=-o]zr. dm L,=0的情况:①刚体关于转轴对称②转轴穿过 L,=ko]r2dml 所有刚体切片的质心;③刚体关于乙=0平面对称; 定义:刚体相对轴上一点的角动量沿轴向的分量称 =kol 为刚体相对转轴的角动量它与点的位置无关
固定轴 z ω,α §4.2、 §4.3、§4.5 刚体转动中的角动量问题 一.刚体定轴转动的角动量定理 dL dmr v dmr ( r) = = 基点O r v r •dm = = − ⊥ + ⊥ m m L dL dm ( zr r k) 2 z m z k I L k r dm = = ⊥ 2 定义:刚体相对轴上一点的角动量沿轴向的分量称 为刚体相对转轴的角动量.它与点的位置无关. = − ⊥ ⊥ m L zr dm 的情况:①刚体关于转轴对称;②转轴穿过 所有刚体切片的质心;③刚体关于z=0平面对称; L⊥ = 0 (一)定轴转动中的角动量 ( ) [ ( )] = + ⊥ + ⊥ dm zk r k zk r ( ) [ ] + ⊥ ⊥ = dm zk r k r ( [ ] [ ]) ⊥ + ⊥ ⊥ = dm zk k r r k r ( ) 2 dm zr r k − ⊥ + ⊥ = = − ⊥ + ⊥ m m zr dm k r 2 dm
(二)刚体绕Z轴的转动惯量( moment of inertia) 1定义:12=∫r2dmn 孔a,a 对于质点:Ⅰ=r2m 对于质点系:1=∑r2m 对于刚体组::=∑I 2物理意义:刚体转动惯性的量度 3大小规律: 基点O (1)对形状、大小相同的刚体, 固定轴 密度越大转动惯量越大; (2)在总质量相同的情况下, 质量分布离轴越远转动惯量越大; (3)同一刚体转动惯量的大小决定于转轴的方位
固定轴 z ω,α 基点O r v r •dm (二)刚体绕Z轴的转动惯量（moment of inertia） 2.物理意义:刚体转动惯性的量度. 3.大小规律: = ⊥ m I z r dm2 1.定义: 对于质点: I z r m 2 = ⊥ 对于质点系: z = i⊥mi I r 2 对于刚体组: z = iz I I (1)对形状、大小相同的刚体, 密度越大转动惯量越大; (2)在总质量相同的情况下, 质量分布离轴越远,转动惯量越大; (3)同一刚体,转动惯量的大小决定于转轴的方位