第二章波动 振动在空间的传播过程叫做波动; 本质 机械振动 机械波; 不同 规律 电磁振动 电磁波; 相同 §21~§2.3机械波的产生、传播和描述方法 §2.4机械波的能量和能流 §25惠更斯原理及其应用 §26、§2.7波的叠加问题 预期学时: §2.8多普勒效应及其应用 8学时
振动在空间的传播过程叫做波动; 第二章 波动 机械振动 机械波； 电磁振动 电磁波; 本质 不同 规律 相同 §2.1 ~§2.3 机械波的产生、传播和描述方法 §2.4 机械波的能量和能流 §2.5 惠更斯原理及其应用 §2.6 、§2.7 波的叠加问题 §2.8 多普勒效应及其应用 预期学时： 8学时
§2.1~§23机械波的产生、传播和描述方法 一.机械波( mechanical wave的产生 弹性波 elastic wave) ()产生条件: t=0 11J 1产生振动的波源 1/4)T t=(1/2)T 2传播振动的弹性介质 t=(3/4)T (二)横波和纵波 1.横波:质元振动方向与波传播方向垂直; 柔软的轻绳中只能传播横波. 2纵波:质元振动方向与波传播方向平行; 理想的流体中只能传播纵波 地震波 有一些波既有纵波成分,也有横波成分. 水面波:水面质元在重力和 表面张力作用下绕平衡位置 在两介质交界面上还可以传播表面波 沿圆形或椭圆轨道旋转
§2.1 ~§2.3 机械波的产生、传播和描述方法 一.机械波(mechanical wave)的产生 (一)产生条件: 弹性波(elastic wave) • • • • • • • • • • • • • • • • t=0 • • t=(1/2)T • • • • • • • • • • • • • • • t=T • • • • • • • • • • • • • • • t=(1/4)T • • • • • • • • • • • • • • • • t=(3/4)T • • • • • • • • • • • • • • • • 2.传播振动的弹性介质 1.产生振动的波源 (二)横波和纵波 1.横波: 质元振动方向与波传播方向垂直; •柔软的轻绳中只能传播横波. 2.纵波: 质元振动方向与波传播方向平行; *有一些波既有纵波成分，也有横波成分. •理想的流体中只能传播纵波. 地震波 *在两介质交界面上还可以传播表面波. 水面波:水面质元在重力和 表面张力作用下绕平衡位置 沿圆形或椭圆轨道旋转
二振动的传播-行波 “-+-r--F-" 0 (一)质元并未“随波逐流”, F--r=---- 波的传播不是质元的传播; =(1/4)T (二)“上游”的质元依次带动 t=(1/2)T “下游”的质元振动 (3/4)T (三)某时刻某质元的振动状态 将在较晚时刻于“下游”某处 T 出现-波是振动状态的传播 (四)行波的波函数: J(振动的物理量) 原点在时刻的状态f( 0 质元坐标 传播时间xl x处在(tx/u)时刻的状态 y(x, t)=f(t-x/u)
二.振动的传播 (二)“上游”的质元依次带动 “下游”的质元振动. ---行波 (四)行波的波函数: x处在(t-x/u)时刻的状态 原点在t时刻的状态f (t) 传播时间x/u y(x,t) = f (t − x / u) x • • • • • • • • • • • • • • • • y(振动的物理量) u 质 元 坐 标 o • • • • • • • • • • • • • • • • t=0 • • t=(1/2)T • • • • • • • • • • • • • • • t=T • • • • • • • • • • • • • • • t=(1/4)T • • • • • • • • • • • • • • • • t=(3/4)T • • • • • • • • • • • • • • • • (三)某时刻某质元的振动状态 将在较晚时刻于“下游”某处 出现---波是振动状态的传播. (一)质元并未“随波逐流” , 波的传播不是质元的传播;
三简谐行波的描述方法 波函数∫是正弦或余弦形式 波源和质元均作简诸振动 (一)描述简谐波的特征量 1波速:振动相位的传播速度 简谐波是振动相位的传播 只与介质有关 2波长( (wave length):沿波的传播方向两相邻同相点间的距离: 波数( wave number)1/ 相邻同相点间的相位差为2x 单位长度上完整波的个数 一个完整波( complete wave)的空间长度 波矢量 wave vector):k=(2丌/)n 因与波源有关 3频率v:单位时间内传播的完整波的个数 周期T:传播一个完整波所用的时间 u=n/T=nv
波源和质元均作简谐振动 波函数f 是正弦或余弦形式 (一)描述简谐波的特征量 简谐波是振动相位的传播 1.波速u: 振动相位的传播速度. 只与介质有关 波数(wave number) 1/ 相邻同相点间的相位差为2π. 一个完整波(complete wave)的空间长度 单位长度上完整波的个数 三.简谐行波的描述方法 2.波长(wave length)λ: 沿波的传播方向,两相邻同相点间的距离. k n 波矢量(wave vector): = (2 / ) 3.频率ν: 单位时间内传播的完整波的个数. 周期T:传播一个完整波所用的时间. 只与波源有关 u = /T =
(二)一维简谐波的波函数 y(振动的物理量) 参考点a:ya()=Acos(计+)o 质元坐 y标 任意点p: 质元振幅均为A 沿波的传播方向相位依此滞后 △r b=2=2兀T x 质元角频率均为o 相位:p=ot+q-m→y=Acos|(t -s )+o 令x=0 0,→ y(x, t)=Acos Q(t-; y(x, t)=Acos(at-lar) 沿x轴正 2 V(x, t)=Acos(t-x); y(x, t)=Acos(x-ut ) 方向传播 y(, t)=Acos@(t +; y(x, t=Acos(at+hx); 沿x轴反 y(x, t)=Acos(t+2 y(x, t) =Acos(x+ut) 2丌 方向传播
沿波的传播方向相位依此滞后 u x T x x u = = = 2 2 (二)一维简谐波的波函数 x • • • • • • • • • • • • • • • • y(振动的物理量) 质 元 坐 标 o u x 参考点 a a: ya (t)=Acos( t+a ) 任意点ｐ: 质元振幅均为A 质元角频率均为ω p 相位: u x xa a t − = + − cos[ ( ) ] a a u x x y = A t − + − 令x a = 0,a = 0, ( , ) cos ( ); u x y x t = A t − y(x,t) = Acos(t − kx); ( , ) cos( ); 2 2 y x t A t x T = − ( , ) cos ( ); 2 y x t = A x − ut 沿x轴正 方向传播 ( , ) cos ( ); u x y x t = A t + y(x,t) = Acos(t + kx); ( , ) cos( ); 2 2 y x t A t x T = + ( , ) cos ( ); 2 y x t = A x + ut 沿x轴反 方向传播
☆一维简谐波函数的物理意义y(x,)=Acos(Ot-kx) 固定x=x,→y(xn)=Acos(ot-kx)←x处的振动方程 用摄像机为某质元拍的一段 “舞姿优美”的特写镜头. 定t=tn,→y(x,t)=Acos(kx-0t)4时刻的波形方程 波的传播也表现为波形的传播, 个周期内前进一个波长的距离 t0时刻用照相机为所有 不仅能反映横波也能反映纵波的位移情况质元拍的团体相 看定某一相位:=0t-kx,→,=O/k=l 波是相位的 传播速度为 T—时间周期性;λ—空间周期性; 波是振动状态的传播速度为l
☆一维简谐波函数的物理意义 •固定 x= x0 , •固定 t = t0 , ( , ) cos( ) 0 0 y x t = A t − kx ( , ) cos ( ) 0 0 y x t = A k x − t •看定某一相位: y(x,t) = Acos( t − kx); x0处的振动方程 y o t x = x0 用摄像机为某质元拍的一段 “舞姿优美”的特写镜头. t0时刻的波形方程 t0 时刻用照相机为所有 质元拍的团体相. 0 = t − k x,, x = / k = u 波的传播也表现为波形的传播, 一个周期内前进一个波长的距离 y o x u t=t0 不仅能反映横波也能反映纵波的位移情况 波是相位的 传播,速度为u. 波是振动状态的传播,速度为u. •T —时间周期性;—空间周期性;
(三)波传播的几何描述 1波线( wave line):表示波的传播方向的直线或曲线 2等相面(equa| phase surface):相位相同的点构成的平面或曲面 波前( wave fron或波面( wave surface)波的最前方的等相面 [例]在各向同性均匀介质中: 波线与波面垂直 平面波源可以激发平面波 在各向异性或非均匀介质中,波线与波面不 直线波源可以激发柱面波; 定垂直波面会变形,波线也可能是曲线 在远离波源处球面波或柱面波 点状波源可以激发球面波; 的局部可近似看作平面波 y(x,t)=Acos(o t-k); y(r, t)=A /rcos(at-kr); y(, t)=A,(r, /t)cos(at-kr) 波的传播可表述为波面沿波线向前推进速度为
(三)波传播的几何描述 [例]在各向同性均匀介质中: 1.波线(wave line):表示波的传播方向的直线或曲线. 2.等相面(equal-phase surface):相位相同的点构成的平面或曲面. 波前(wave front)或波面(wave surface):波的最前方的等相面. 平面波源可以激发平面波; 点状波源可以激发球面波; 波线与波面垂直 在各向异性或非均匀介质中,波线与波面不 一定垂直,波面会变形,波线也可能是曲线. 在远离波源处,球面波或柱面波 的局部可近似看作平面波 波的传播可表述为:波面沿波线向前推进,速度为u. 直线波源可以激发柱面波; y(x,t) = Acos( t − kx); ( , ) ( / )cos( ) 1 1 ( , ) / cos( ); y r t = A r r t − k r 1 1 y r t = A r r t − k r
简谐波函数的复数表示 平面简谐波y(x,)=Acos(t-kx) 波场中 般简谐波y(F,t)=A(r)cos(ot-k·f) 各点的 复数形式J(,1)=A(F,0(学,些图母 波场 谐振动 y(F,1)=Re4(r)lrk)各点 的相位 谐振 主要由 空间因 子决定 ,)=(F)e-(k)有相 J 间 复振幅y(F,)=A(F)e ik.r 复数形式的优点 波的强度∝A2=v(F,)y(,)L运算简便
*简谐波函数的复数表示 平面简谐波 y(x,t) = Acos( t − kx) 一般简谐波 y(r,t) A(r)cos( t k r) = − ( , ) Re[ ( ) ] i( t k r) y r t A r e − = ( ) ( , ) ( ) i t k r y r t A r e − − = ik r A r e ( ) i t e 复数形式 y(r,t) = − 波场中 各点的 谐振动 有相同 的时间 因子. 波场中 各点的 谐振动 的相位 主要由 空间因 子决定. 复振幅 ik r r t A r e ( , ) = ( ) 波的强度 ( , ) ( , ) 2 A r t r t = 复数形式的优点 运算简便
「例1若波的表达式为y(x,t)=20c0sx(25t-0.01x) 求波长、周期和波速。式中xy的单位为cm、t的单位为S。 解:元 2兀 200(cm)T 2兀=0.8(5 0.01兀 2.5丌 200 =250(cm/s) T0.8 「例2:一简谐波以0.8m/s的速度沿一长弦线传播。在x=0.1m处, 弦线质点的位移随时间变化的关系为: y=0.0lsin(4.0t+1.0)(m),试写出波函数。 解:波是振动状态的传播,在x轴上任取一点x,在01m处的振动 状态经过8后传播到了x点,则波函数为 J=0.0lsin|4.0(--0.1 08)+101(m) 本次作业: 2.72.9 →y=0.0lsin(4.0t-5.0x+1.5)(m)
[例1]:若波的表达式为 y(x,t) = 20cos (2.5t − 0.01x) , 求波长、周期和波速。式中x,y的单位为cm、t的单位为S。 200( ) 0.01 2 = = cm 0.8( ) 2.5 2 T = = s 250( / ) 0.8 200 cm s T v = = = 解: [例2]:一简谐波以0.8m/s的速度沿一长弦线传播。在x=0.1m处， y = 0.01sin(4.0t +1.0)(m) ，试写出波函数。 弦线质点的位移随时间变化的关系为： 解: 波是振动状态的传播,在x轴上任取一点x,在0.1m处的振动 x s x 0.8 − 0.1 状态经过 后传播到了x点，则波函数为 ) 1.0] ( ) 0.8 0.1 0.0 1sin[4.0( m x y t + − = − y = 0.01sin(4.0t − 5.0x + 1.5) (m) 本次作业： 2.7 2.9
1.一维简诸波的波函数 上次课回顾 y(x, t)=Acos a(t-); y(x, t)=AcoS(at-hx) 沿x轴正 2 x, t)=Acos(t-ax); y(x, t )=Acos a (x-ut 方向传播 y(x, t)=Acosa(t+m); y(, t)=Acos(at +hr) 沿x轴反 V(x, t)=Acos (t+x); y(x, t) =Acos (x+ut); 方向传播 2x0处的振动方程和t时刻的波形方程 ②x0处的振动方程y(x0,)=Acos(0t-kx0) ②t时刻的波形方程y(x,t0)=Acos(kx-Ot() 3沿波的传播方向相位依此滞后 △p=27x △x=2兀T △r △v ←△x
y(x,t) = Acos(t − kx); ( , ) cos( ); 2 2 y x t A t x T = − ( , ) cos ( ); 2 y x t = A x − ut 沿x轴正 方向传播 ( , ) cos ( ); u x y x t = A t + y(x,t) = Acos(t + kx); ( , ) cos( ); 2 2 y x t A t x T = + ( , ) cos ( ); 2 y x t = A x + ut 沿x轴反 方向传播 ( , ) cos ( ); u x y x t = A t − 1.一维简谐波的波函数 2.x0处的振动方程和t0时刻的波形方程 ① x0处的振动方程 ② t0时刻的波形方程 ( , ) cos( ) 0 0 y x t = A t − kx ( , ) cos ( ) 0 0 y x t = A k x −t 3.沿波的传播方向相位依此滞后 u x T x x u = = = 2 2 x • • • • • • • • • • • • • • • • y o u x a p 上次课回顾