第二章相对论动力学 研究相对论动力学的基本出发点: ①基本规律在洛仑兹变换下应保持形式不变 ②低速下应回到牛顿力学 内容提要: 相/7相对论质量 相对论 质量亏损: 重核裂变 对论动力学 质能关系 轻核聚变 相对论能量 相对论 动量能量关系 相对论动量
第二章 相对论动力学 内容提要： 研究相对论动力学的基本出发点： ①基本规律在洛仑兹变换下应保持形式不变 ②低速下应回到牛顿力学 相对论质量 相对论动量 相对论能量 相对论 动量能量关系 相对论 质能关系 质量亏损: 重核裂变 轻核聚变 相 对 论 动 力 学
§2.1.相对论性质量和动量 质量和动量 1力与动量 ●动量和力的定义: p= mv F=dp/dt ●遵循规律:由相对性原理,动量定理、动量守恒定律 等动力学基本规律在洛仑兹变换下应保持形式不变。 2相对论质量和动量 F持续作用→p↑(→∞) ●质量是速率的函数: →v个(→c但仍然是常量 →必须m↑(→∞) m=m(v) →m是速率p的函数
§2.1.相对论性质量和动量 1.力与动量 一.质量和动量 ● 动量和力的定义： F dp / dt = ● 遵循规律：由相对性原理，动量定理、动量守恒定律 等动力学基本规律在洛仑兹变换下应保持形式不变。 m是速率v的函数 2.相对论质量和动量 ● 质量是速率的函数： F持续作用 p (→ ) v (→ c但仍然是常量) 必须m (→ ) m = m( v ) p mv =
●特例研究m(以: 前 碰前S系观察: A:1,1l 后 M →M=M OoB静止,mo40→p 碰前S系观察:碰后观察: M"=m1(-→ A:静止,ⅢoS:I,M y +n 1+ B: S 显然V,V应满足相对论速度变换(S相对速度vVx=V,,=V2=0) 2 →= 卩→ 1士、/1 1-p 2 因p>V,故取“+”号: →ν =1+、/1 ●相对论质量 7.= 0 =mm为粒子静止质量 mn为粒子运动(速率v 质量
V vV / c (V v ) V Vx = − − − = = 2 1 显然V’,V 应满足相对论速度变换 ( s s v ,V V ,V V ): 相对 速度 x = y = z = 0 ● 特例研究 : m( v ) M = mv + m0 M = mv + m0 MV m v = v M V m ( v ) = v − M = M V = −V v v v m m m m m V v 0 0 = 1+ + = 2 2 1 1 c v V v = − 0 2 2 0 1 m c v m mv = − = 因 v V ， 故取“+”号： 2 2 1 1 c v V v = + − ● 相对论质量： m0 mv 为粒子静止质量 为粒子运动（速率v时） 质量
●相对论动量: 相对论质量: 0 2=m 2=ymo=mv 2 例:v=0.98c,m=5m0,P=5m0w;v=0.99c,m=7.09m0,P=7.09m0y 合理性:当ν<<,→1→m=m0,p=mov∝p 狭义相对论运动方程 回到了牛顿力学! ●因为相对论质量随速率而变,其动量定理为 F=d(m)/dt=m/d+wdm/t--:义相对论运动方程 ●一般情况下,a≠F/m,即m=ym0不再是惯性的量度 特例:F⊥p方D布歇恩实验:R=m/qB→m=qBR/v ●高速情况下的运动学问题和牛顿力学的情况相同-仅需以相对论 性质量代入相关公式即可
●相对论动量： m v mv c v m v p = = − = 0 2 2 0 1 0 2 2 0 1 m c v m mv = − = 相对论质量： v . c,m m , p m v;v . c,m . m , p . m v 0 0 0 0 例： = 0 98 = 5 = 5 = 0 99 = 7 09 = 7 09 合理性： v c, →1 m = m0 , p = m0 v v 回到了牛顿力学！ 当 二.狭义相对论运动方程 ●因为相对论质量随速率而变，其动量定理为 F d(mv )/ dt m dv / dt vdm / dt = = + ---狭义相对论运动方程 a F / m m m0 ●一般情况下， ,即 = 不再是惯性的量度！ p dt dp * F p 特例： ⊥ ⊥ ●高速情况下的运动学问题和牛顿力学的情况相同---仅需以相对论 性质量代入相关公式即可。 布歇恩实验： R = mv / qB m = qBR / v
§2.2§2.3相对论能量动量能量关系 相对论动能 ●遵循规律:由相对性原理,动能定理在洛仑兹变换下 应保持形式不变。 正Ek=F =φν ●相对论动能 mv·c+卩2dm=mwbv+p2am E 2-m0C m=mo 或 E C-v=nc ●相对论动能的合理性: 两边求微分:mvv+v2dm=c2dm →dEk=cdm ①实验验证:带电粒子在电场中加 速,计算E=qU,测定v描Ek~图 ②低速回到牛顿力学: ek deMo f=(1+n12b+…-1me2 2" 按泰勒公式展开并略去高阶小量
§2.2 §2.3 相对论能量 动量能量关系 一.相对论动能 ● 遵循规律：由相对性原理，动能定理在洛仑兹变换下 应保持形式不变。 mv dv v dm mvdv v dm dr dp v dt dp dE F dr K 2 2 = + = + = = = 2 2 0 2 2 2 2 m c − m v = m c 2 2 0 1 c v m = m / − mvdv v dm c dm 2 2 两边求微分： + = dEK c dm2 = dE c dm m m K EK 2 0 0 = 2 0 2 E mc m c k = − ● 相对论动能： 2 0 2 2 1 1 1 )m c c v E ( k − − 或： = ● 相对论动能的合理性： ①实验验证：带电粒子在电场中加 速，计算Ek=qU，测定v,描Ek～v图 ②低速回到牛顿力学： 2 0 2 4 0 4 2 2 2 1 1 2 8 1 )m c m v c v c v E ( k = + − +− 按泰勒公式展开并略去高阶小量
相对论能量 .k -mc Moc 1.静止能量和相对论总能量 E-E ●相对论总能量(动能及静能之和):E=ma2=me ●静止能量(简称静能):E0=moc k 2.关于相对论能量 ①宏观静止的物体具有能量一内部所有粒子的能量的总和; ②相对论质能关系:E=mc2 *能量守恒和质量守恒统一,相对论质量可认为 孤立系统能量守恒 是能量的量度。①粒子物理中常使用粒子质量为E=E4+mnc2= const ×Mev的说法;②电子静能:Eo=0.51lMev。 ③质量亏损:△EA=(-△mn)c2 →dEA=(-dmn)c2 重核裂变、轻核聚变后总的静止质量均减少,相应释放出巨大的动能一核能。 ①正负电子对湮灭,电子的静止质量转化为光子的动能或运动质量;②太阳热 核反应(聚变)释放核能。地面接收到太阳辐射为1.7×103W/m2,可推知其辐射 功率dE/dt为4.9×1026w,则太阳质量的年损失△m=1.7×101kg
二．相对论能量 1. 静止能量和相对论总能量 2 0 2 E m c m c k = − Ek = E − E0 2 0 0 E = m c 2 0 2 E = m c = m c ●静止能量（简称静能）： ●相对论总能量（动能及静能之和）： 2 E = mc 2. 关于相对论能量 ①宏观静止的物体具有能量－内部所有粒子的能量的总和； ②相对论质能关系： E E m c const = k + = 2 0 2 0 dE ( dm )c k = − *重核裂变、轻核聚变后总的静止质量均减少，相应释放出巨大的动能--核能。 ①正负电子对湮灭，电子的静止质量转化为光子的动能或运动质量；②太阳热 核反应（聚变）释放核能。地面接收到太阳辐射为1.7×103w/m2,可推知其辐射 功率dE/dt为4.9×1026w，则太阳质量的年损失△m =1.7×1017kg。 孤立系统能量守恒： ③质量亏损： 2 0 E ( m )c k = − *能量守恒和质量守恒统一，相对论质量可认为 是能量的量度。①粒子物理中常使用粒子质量为 ××Mev的说法; ②电子静能 :Eo=0.511Mev。 *
例1:北京正负电子对撞机中电子动能E=28×10°ev,求电子速率ν。 解:∵E>>m2c2(=0.511×10ev) →EA≈mc2=mnc2/√1-y2/c2 →c2-y2=(mnc2/Ek)2c2 v≈c →c--ν2=(c+v)(c-v)≈2c(c-v c-v=n(moc/Ek)c=5m/s 学员练习:两全同粒子,静止质量为m,以相等速率啪相向而行, 碰后复合,求碰后复合粒子的速度和质量。 解:系统动量守恒MW=m+m(-v)=0→L=0 系统能量守恒 2 →M=2m=2m, >2m M=M=2m. >2m 注意:此处损失的动能转换成静能,静止质量增大
例1：北京正负电子对撞机中电子动能Ek=2.8×109ev,求电子速率v 。 E m c ( . ev ) k 2 6 0 = 0 51110 2 2 2 0 2 Ek mc = m c / 1− v / c 2 2 2 0 2 2 c v (m c / E ) c − = k v c c − v = ( c + v )( c − v ) 2c( c − v ) 2 2 c v ( m c / E ) c m / s k 5 2 1 2 2 − = 0 = 解： 学员练习：两全同粒子，静止质量为 ，以相等速率v相向而行， 碰后复合，求碰后复合粒子的速度和质量。 m0 MV = m v+ m(−v ) = 0 V = 0 2 2 Mc = 2mc 2 0 2 0 2 2 / 1 2m c v M = m = m − 2 0 2 0 0 2 / 1 2m c v M = M = m − 系统动量守恒 注意：此处,损失的动能转换成静能，静止质量增大。 解： 系统能量守恒
三相对论动量能量关系 ●相对论动量能量关系: P=l E 2 m oc E= mc E n=n 动量一能量三角形 →E2=c2p2+m2oc4 ●若v>mc2→E=md2=c:mce,m=qp 光子和高能粒子均可按此计算 e hv 如:频率为v的光子,由量子论其能量E=hv,则P 光子的静止质量mn=0
三.相对论动量能量关系 p = mv2 E = mc 2 2 0 1 c v m = m / − 4 0 2 2 2 2 E = c p + m c ●相对论动量能量关系： 4 0 2 2 2 2 E = c p + m c 2 0 E m c k 2 4 0 2 0 2 2 0 2 E ( E m c ) 2E m c m c v c, = k + k + 0 2 Ek p / 2m ---回到牛顿力学 ●若 v c, 2 0 2 0 E (m m )c m c k = − E = m c = c m c c m v = cp 2 ●若 如：频率为 的光子，由量子论其能量 ,则 光子和高能粒子均可按此计算。 h c h C E E = h p = = = 0 m0 = 光子的静止质量
例2:光的康普顿效应:入射光频率为ν,受到物质散射后, 求频率为ν(p2<ν)的散射光对应的散射角0 光子电子 解:散射是光子和物质中原来静止的自由电子间的碰撞,有 能量守恒:hv+mnc2=hv+E2 动量守恒:p2=(Mv/c)2+(hv/c)2-2h2y/v/e2)cas 电子的相对论动量能量关系:E2=c2p2+mc4 由以上三式可求得:0=20sm/mn(1-1 ch (量子物理中将讨论这一效应)
例2：光的康普顿效应：入射光频率为ν，受到物质散射后， 求频率为ν’（ ν’ <ν）的散射光对应的散射角θ. h m c h + Ee + = 2 0 p e (h / c ) (h / c ) (h / c )cos 2 2 2 2 2 = + − 2 2 4 0 2 2 2 Ee = c pe + m c 解：散射是光子和物质中原来静止的自由电子间的碰撞，有 能量守恒： 动量守恒： 电子的相对论动量能量关系： 由以上三式可求得： ) v ( h m c arcsin 1 1 2 2 2 0 − = （量子物理中将讨论这一效应）
学员练习:静止质量为m的粒子,运动质量为2m,求这个粒子 的运动速度、动量和动能 参考解:m=1 2 √1-y2/c →=—C 2 my=2m 0 c=√3 2 10C E=E-Eo=mc -moc=moC 检验:动量-能量三角形 本次作业: 2.72.82.9
学员练习：静止质量为m0的粒子，运动质量为2m0，求这个粒子 的运动速度、动量和动能。 0 0 2 2 2 1 1 m m v / c m = − = v c 2 3 = 2 0 2 0 2 0 E E E mc m c m c k = − = − = 参考解： 本次作业: 2.7 2.8 2.9 p mv m c m c 0 0 3 2 3 = = 2 = 检验: 动量-能量三角形