·1378· 工程科学学报，第37卷，第10期 s=fS. S2 ,下列三个条件是等价的： (i)S<0: (i)Su<0,S22-S2SS2<0: (i)Sa<0,S,-S2Sz'S2<0. 代入引理2的不等式EFG+GFTE≤EFUF'E+ 本文还需要用到一个推广的矩阵不定式和其特 GUG中，就证明了引理4中不等式的成立. 例，就是下面的引理2、引理3和引理4. 注3与许多文献所使用的矩阵不等式相 引理2设E,F,G为适当维数的矩阵，则对适当 比1四，引理3已经是推广的矩阵不等式.另外，引理 维数的U>0,有 3中的F可以不是方阵，U可以不是对角阵，但要求 EFG+GFET <EFUFTET +G'U-G. U≤L.在引理4中，要求F是方阵，从而每个F:都是 证明：由于0>0，根据正定矩阵的性质可知，存在 方阵，并且U>0必须是对角的 矩阵Z>0,使得U=Z.令M=ZFE-ZG,由高 等代数知识可得 2扩大误差系统的推导 0sM'M=(ZF"ET-Z-G)(ZFET-Z-G)= 我们构造扩大误差系统，然后针对该增广系统给 EFUFET -EFG-GFET +GU-G, 出鲁棒H.控制器，并研究其闭环系统所具有的上述鲁 由此得到 棒性能 EFG+GFTET &EFUFTET +G'U-G. 2.1误差系统的构造 下面的引理3和引理4都是引理2的推论 首先，由输出方程和式(4)得到 引理3设E,F,G为适当维数的矩阵.对适当维 e(k+1)=y(k+1)-r(k+1)= 数的U:I≥U>0和F:FFT≤I,下述不等式成立： Cx(k+1)-r(k+1)= EFG+GFET≤EET+GUlG. C[A+△A]x()+B+△B]u(k)+ 证明：由I≥U>0和FFT≤I易得，EFUFE≤ Dw(k)}-r(k+1). (6) EFFE≤EE,从而由上述引理2可得 EFG+GFTE≤EFUFE+GU'G≤ 引进形式状态向量x仙-：份1并令 EE+GUG. 引理4假设E,F,G,U为适当维数的矩阵，如果 4=0Aa=g1o=-81 F=diag{F,F2,…,Fx},其中F(k)∈R,F,(k) F(k)≤L,(i=1,2,…,N),U=diag{u,l,u2le,…, M-88aa=1,P-1 u},其中，：>0(i=1,2,…,N),则有 式(1)和式(6)联立即可得 EFG+GFE≤EUE+GU-G. X,(k+1)=[A,+△A]X1(k)+ 证明：在上面对F和U的假设下，可得到 B1+△B]u(k)+D,w(k)+F(k+1).(7) F 2.2扩大误差系统的构造 FUF 把目标值信号的信息加入系统(7).再令 r() r(k+1) X.(k)= ∈R.Dg, Lr(k+M) ro I 03 0 u F FT AR= ∈R+x,+)7 FFT 0 … …01 …… 00」 依照前面的假设2，就得到等式 Xg (+1)=AgX (k). (8) 再次引进形式的状态向量工程科学学报，第 37 卷，第 10 期 S = S11 S12 ST 12 S [ ] 22 ，下列三个条件是等价的: ( i) S ＜ 0; ( ii) S11 ＜ 0，S22 － ST 12S － 1 11 S12 ＜ 0; ( iii) S22 ＜ 0，S11 － S12S － 1 22 ST 12 ＜ 0． 本文还需要用到一个推广的矩阵不定式和其特 例，就是下面的引理 2、引理 3 和引理 4． 引理 2 设 E，F，G 为适当维数的矩阵，则对适当 维数的 U ＞ 0，有 EFG + GT FT ET ≤EFUFT ET + GT U － 1 G． 证明: 由于 U ＞ 0，根据正定矩阵的性质可知，存在 矩阵 Z ＞ 0，使得 U = Z2 ． 令 M = ZFT ET － Z － 1 G，由高 等代数知识可得 0≤MT M = ( ZFT ET － Z － 1 G) T ( ZFT ET － Z － 1 G) = EFUFT ET － EFG － GT FT ET + GT U － 1 G， 由此得到 EFG + GT FT ET ≤EFUFT ET + GT U － 1 G． 下面的引理 3 和引理 4 都是引理 2 的推论． 引理 3 设 E，F，G 为适当维数的矩阵． 对适当维 数的 U∶ I≥U ＞ 0和 F∶ FFT ≤I，下述不等式成立: EFG + GT FT ET ≤EET + GT U － 1 G． 证明: 由 I≥U ＞ 0 和 FFT ≤I 易得，EFUFT ET ≤ EFFT ET ≤EET ，从而由上述引理 2 可得 EFG + GT FT ET ≤EFUFT ET + GT U － 1 G≤ EET + GT U － 1 G． 引理 4 假设 E，F，G，U 为适当维数的矩阵，如果 F = diag{ F1，F2，…，FN } ，其中 Fi ( k) ∈Ｒfi × fi ，Fi ( k) FT i ( k) ≤Ifi ，( i = 1，2，…，N) ，U = diag { u1 If1 ，u2 If2 ，…， uN IfN } ，其中，ui ＞ 0( i = 1，2，…，N) ，则有 EFG + GT FT ET ≤EUET + GT U － 1 G． 证明: 在上面对 F 和 U 的假设下，可得到 FUFT = F1 F2  F             N μ1 If1 μ2 If2  μN If             N · FT 1 FT 2  FT            N  = μ1F1FT 1 μ2F2FT 2  μN FN FT            N  ≤ μ1 If1 μ2 If2  μN If             N = U 代入引理2 的不等式 EFG + GT FT ET ≤EFUFT ET + GT U － 1 G 中，就证明了引理 4 中不等式的成立． 注 3 与许多文献所使用的矩阵不等式相 比［21--22］，引理 3 已经是推广的矩阵不等式． 另外，引理 3 中的 F 可以不是方阵，U 可以不是对角阵，但要求 U≤I． 在引理 4 中，要求 F 是方阵，从而每个 Fi 都是 方阵，并且 U ＞ 0 必须是对角的． 2 扩大误差系统的推导 我们构造扩大误差系统，然后针对该增广系统给 出鲁棒 H∞ 控制器，并研究其闭环系统所具有的上述鲁 棒性能． 2. 1 误差系统的构造 首先，由输出方程和式( 4) 得到 e( k + 1) = y( k + 1) － r( k + 1) = Cx( k + 1) － r( k + 1) = C{ ［A + ΔA］x( k) +［B + ΔB］u( k) + Dw( k) } － r( k + 1) ． ( 6) 引进形式状态向量 X1 ( k) = e( k) x( k [ ] ) ． 并令 A1 = 0 CA 0[ ] A ，B1 = CB [ ] B ，D1 = CD [ ] D ， ΔA1 = 0 CΔA 0 Δ [ ] A ，ΔB1 = CΔB Δ [ ] B ，F = － I [ ] 0 ． 式( 1) 和式( 6) 联立即可得 X1 ( k + 1) =［A1 + ΔA1］X1 ( k) + ［B1 + ΔB1］u( k) + D1w( k) + Fr( k + 1) ． ( 7) 2. 2 扩大误差系统的构造 把目标值信号的信息加入系统( 7) ． 再令 XＲ ( k) = r( k) r( k + 1)   r( k + MＲ              )  ∈Ｒ( MＲ + 1) q ， AＲ = 0 I 0 0      0 … … 0 I 0 … …              0 0 ∈Ｒ［( MＲ + 1) q］× ［( MＲ + 1) q］． 依照前面的假设 2，就得到等式 XＲ ( k + 1) = AＲ XＲ ( k) ． ( 8) 再次引进形式的状态向量 ·1378·