工程科学学报，第37卷，第10期：1376-1386,2015年10月 Chinese Journal of Engineering,Vol.37,No.10:1376-1386,October 2015 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2015.10.019;http://journals.ustb.edu.cn 具有跟踪鲁棒性能的H,最优预见控制 李 丽，廖福成⑧ 北京科技大学数理学院，北京100083 ☒通信作者，E-mail:feliao@usth.cdu.cm 摘要研究了一类不确定离散时间系统的鲁棒H_预见控制问题.其中采用一种新的方法构造扩大误差系统，避免对时变 的系数矩阵取差分，从而成功构造简化的扩大误差系统.然后针对所求得的不确定系统的扩大误差系统，通过引入带有预见 作用的状态反馈，研究鲁棒H.保成本控制问题，得到确保鲁棒H.控制器存在的充分条件及H.状态反馈控制器的设计方法 该条件可以通过求解一个线性矩阵不等式优化问题而实现.所得控制器回到原系统就得到带有预见作用的最优预见控制 器.而且，通过引入积分器，实现闭环系统对目标值信号的鲁棒无静差跟踪.最后的数值算例说明了本文理论的有效性， 关键词离散时间系统：预见控制：鲁棒性：线性矩阵不等式：积分器 分类号TP273 H optimal preview control with robust tracking performance LILi,LIAO Fu-cheng School of Mathematics and Physics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China Corresponding author,E-mail:fcliao@ustb.edu.cn ABSTRACT A robust H preview control problem is proposed for a class of uncertain discrete-time systems.A new method is de- rived to construct an augmented error system,avoiding applying the difference operator to the time-varying matrix,and simplify the augmented error system.Then for the augmented error system of the uncertain system,the problem of guaranteed cost robust H con- trol is considered via a state feedback with integral and preview actions.The sufficient condition for the existence of the robust H con- troller and H.state feedback controller design methods are presented.The condition can be realized by solving a linear matrix inequal- ity optimization problem.By putting the controller obtained into the original system,we can get the preview controller.Moreover,intro- ducing an integrator makes the closed-oop system robustly track the reference signal without steady-state error.The effectiveness of the proposed method is shown by numerical simulation. KEY WORDS discrete-time systems:preview control:robustness:linear matrix inequalities:integrators 近年来，有关离散时间不确定系统的鲁棒控制的 作为一种比较新的控制方法，预见控制能利用未 研究已取得了许多成果-习，但是将预见控制和鲁棒 来的目标值信号或干扰信号来改善系统性能④.由于 控制结合起来研究离散时间不确定系统的文献则很 预见控制可以融合已知的目标值信号或干扰信号来提 少.主要原因有两点：(1)在运用预见控制中误差系 高闭环系统性能，还对系统进行前馈补偿，使得系统的 统的方法，对系统中包含时变或不确定参数项取差分 输出能实时无误差地跟踪目标信号，所以预见控制从 遇到困难；(2）)在利用Lyapunov方法研究离散不确定 提出至今一直受到学术界的关注，已在定常的线性离 系统时，Lyapunov函数沿系统的全差分中含有不确定 散时间系统、线性连续时间系统、某些广义系统等方面 矩阵的非线性项，从而增加了不等式技巧应用的困难. 得到了应用，并取得了很好的研究成果.文献5]通过 收稿日期：201405-30 基金项目：国家自然科学基金资助项目(61174209)
工程科学学报，第 37 卷，第 10 期: 1376--1386，2015 年 10 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 37，No． 10: 1376--1386，October 2015 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2015． 10． 019; http: / /journals． ustb． edu． cn 具有跟踪鲁棒性能的 H∞ 最优预见控制 李 丽，廖福成 北京科技大学数理学院，北京 100083 通信作者，E-mail: fcliao@ ustb． edu． cn 摘 要 研究了一类不确定离散时间系统的鲁棒 H∞ 预见控制问题． 其中采用一种新的方法构造扩大误差系统，避免对时变 的系数矩阵取差分，从而成功构造简化的扩大误差系统． 然后针对所求得的不确定系统的扩大误差系统，通过引入带有预见 作用的状态反馈，研究鲁棒 H∞ 保成本控制问题，得到确保鲁棒 H∞ 控制器存在的充分条件及 H∞ 状态反馈控制器的设计方法． 该条件可以通过求解一个线性矩阵不等式优化问题而实现． 所得控制器回到原系统就得到带有预见作用的最优预见控制 器． 而且，通过引入积分器，实现闭环系统对目标值信号的鲁棒无静差跟踪． 最后的数值算例说明了本文理论的有效性． 关键词 离散时间系统; 预见控制; 鲁棒性; 线性矩阵不等式; 积分器 分类号 TP273 H∞ optimal preview control with robust tracking performance LI Li，LIAO Fu-cheng School of Mathematics and Physics，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China Corresponding author，E-mail: fcliao@ ustb． edu． cn ABSTＲACT A robust H∞ preview control problem is proposed for a class of uncertain discrete-time systems． A new method is derived to construct an augmented error system，avoiding applying the difference operator to the time-varying matrix，and simplify the augmented error system． Then for the augmented error system of the uncertain system，the problem of guaranteed cost robust H∞ control is considered via a state feedback with integral and preview actions． The sufficient condition for the existence of the robust H∞ controller and H∞ state feedback controller design methods are presented． The condition can be realized by solving a linear matrix inequality optimization problem． By putting the controller obtained into the original system，we can get the preview controller． Moreover，introducing an integrator makes the closed-loop system robustly track the reference signal without steady-state error． The effectiveness of the proposed method is shown by numerical simulation． KEY WOＲDS discrete-time systems; preview control; robustness; linear matrix inequalities; integrators 收稿日期: 2014--05--30 基金项目: 国家自然科学基金资助项目( 61174209) 近年来，有关离散时间不确定系统的鲁棒控制的 研究已取得了许多成果［1--3］，但是将预见控制和鲁棒 控制结合起来研究离散时间不确定系统的文献则很 少． 主要原因有两点: ( 1) 在运用预见控制中误差系 统的方法，对系统中包含时变或不确定参数项取差分 遇到困难; ( 2) 在利用 Lyapunov 方法研究离散不确定 系统时，Lyapunov 函数沿系统的全差分中含有不确定 矩阵的非线性项，从而增加了不等式技巧应用的困难． 作为一种比较新的控制方法，预见控制能利用未 来的目标值信号或干扰信号来改善系统性能［4］． 由于 预见控制可以融合已知的目标值信号或干扰信号来提 高闭环系统性能，还对系统进行前馈补偿，使得系统的 输出能实时无误差地跟踪目标信号，所以预见控制从 提出至今一直受到学术界的关注，已在定常的线性离 散时间系统、线性连续时间系统、某些广义系统等方面 得到了应用，并取得了很好的研究成果． 文献［5］通过
李丽等：具有跟踪鲁棒性能的H.最优预见控制 ·1377· 对状态变量及误差向量取差分构造一个形式系统一 式中：x(k)∈R”为状态向量：u(k)∈R为控制输入 扩大误差系统，将预见控制问题转化为调节问题，对该 向量y()∈R为观测输出：z(k)∈R'为被控输出向 调节问题设计控制器，回到原系统就得到最优预见控 量；w(k)∈R为L,D,∞)的干扰输入向量：A,B,C, 制器.文献6]把文献[5]的方法移植到连续时间系 C,D,D,E为适当维数的常数矩阵；△A=△A(k,x, 统，得到了类似离散时间系统的扩大误差系统。文献 a)和△B=△B(k,x,a)是关于时间变量k、状态向量x ]又把文献6]的方法进一步推广，研究目标值预见 和不确定参数α的不确定矩阵 和干扰预见问题.基于离散提升技术，文献89]研究 关于系统(1)，我们给出以下基本假设. 了多采样离散时间系统的最优预见控制问题.文献 假设1设存在适当维数的常数矩阵E,、H和不 0]通过构造扩大误差系统，将广义系统的预见控制 确定矩阵∑=(k,x,a),i=1,2,满足 问题转化为一个形式上普通广义系统的控制问题，然 [AA=E H, 后由广义系统最优控制理论的结论，得到广义系统的 (2) l△B=E2∑，H2, 带有预见作用的控制器.文献1-12]克服文献0] ≤I (3) 中对状态矩阵苛刻的条件，利用一些技巧得到广义系 注1假设1的式(2)指的是系统(1)中不确定项 统的扩大误差系统，从而得到形式上的普通广义系统， 满足一定的匹配条件，而式(3)指的则是不确定项是 利用预见控制的相应手法可以实现所希望的目标.再 按范数有界的.而且，通过表达式△A=△A(k,x,a)和 后来人们又研究预见控制系统的鲁棒控制，特别是把 △B=△B(k,x,a)表明，不确定项可以与状态向量有 H,控制的思想方法借鉴了过来 Takaba通过求解一个线性矩阵不等式(LMI)得 关，也可以是时变的，还可能与某些无法确知的参数有 关.所以，本文所指的不确定项是非常一般的 到状态反馈控制器，研究了凸多面体不确定离散时间 系统的预见控制问题.文献04]通过利用哈密顿矩阵 我们还假设目标值信号是可预见的，即 的性质，在引入一个辅助矩阵Riccati方程的基础上， 假设2设目标值信号r(),r()∈R的预见步 研究了I预见控制问题.文献D5]在假设不确定系 数为Mg,即在当前时刻k,目标值信号r(),r(k+1), 统中的不确定矩阵为常数矩阵的情况下，通过构造扩 r(k+2),…,r(k+M)为已知.我们还设Mg步以后 目标值信号为0： 大误差系统，研究了不确定离散时间系统的鲁棒预见 控制问题，并给出不确定矩阵的扰动估计.Kojima和 r(k+j)=0,j=Mg+1,Mm+2,Mg+3,…. Ishijima基于矩阵Riccati方程研究了时滞系统的预 注2事实上，按照控制系统本身的特点，只有一 见控制问题.Kojima叨进一步基于对Riccati方程解性 段时间的可预见信号对系统的性能有较明显的影响， 质的分析，更加深刻研究更一般时滞系统的预见控制 因此在可预见步数以外的目标值信号的值我们并不关 问题，克服了文献6]方法的局限性，设计一个一般 心.这里，假设它们恒为零完全是为了便于构造扩大 系统的H_预见控制器。 误差系统 本文采用一种新的方法构造扩大误差系统，可以避 定义误差信号 免文献13,15,18-19]的误差系统中包含时变或不确定 e(k)=y(k)-r() (4) 系数的差分的困难，从而使得扩大误差系统变得简单， 对于系统(1)引入二次型性能指标函数 因此易于处理.然后基于鲁棒二次稳定性理论及线性 J=>[e(k)Qe(k)+u(k)"Hu()](5) 矩阵不等式的方法，设计一个带有预见作用的控制器， 使得系统虽然受到不确定性干扰，仍能实时无误差地跟 其中，Q。>0和H>0是给定的加权矩阵. 踪目标值信号，并实现最优鲁棒H.保性能控制 本文的目的是设计一个带有预见作用的控制器， 全文沿用如下记号：P>0(PQ(P0(P-Q< (1)性能指标函数J满足保成本性，即存在了使 0);P≥0(P≤0)表示P为对称半正定（半负定）矩阵， 得J≤J: P≥Q(P≤Q)表示P-Q≥0(P-Q≤0) (2)给定正常数y,在零初始条件下，满足H_范 数约束条件 1问题描述及基本假设 Iz(k)I2≤yIw(k)I2,Vw(k)∈L2D,∞)： 考虑不确定离散时间系统： (3)系统受到不确定扰动的影响，其输出y()仍 x(k+1)=A+△Ax(k)+ 然能够无静态误差跟踪目标值信号r(),即使 B+△B]u(k)+Dw(k), lime ()lim(y(k)-r())=0. (1 y(k)=Cx(k), 本文会多次用到著名的Schur补引理. z(k)=C1x()+Eu(k)+D,w(). 引理1网(Schur补引理)对给定的对称矩阵
李 丽等: 具有跟踪鲁棒性能的 H∞ 最优预见控制 对状态变量及误差向量取差分构造一个形式系统——— 扩大误差系统，将预见控制问题转化为调节问题，对该 调节问题设计控制器，回到原系统就得到最优预见控 制器． 文献［6］把文献［5］的方法移植到连续时间系 统，得到了类似离散时间系统的扩大误差系统． 文献 ［7］又把文献［6］的方法进一步推广，研究目标值预见 和干扰预见问题． 基于离散提升技术，文献［8--9］研究 了多采样离散时间系统的最优预见控制问题． 文献 ［10］通过构造扩大误差系统，将广义系统的预见控制 问题转化为一个形式上普通广义系统的控制问题，然 后由广义系统最优控制理论的结论，得到广义系统的 带有预见作用的控制器． 文献［11--12］克服文献［10］ 中对状态矩阵苛刻的条件，利用一些技巧得到广义系 统的扩大误差系统，从而得到形式上的普通广义系统， 利用预见控制的相应手法可以实现所希望的目标． 再 后来人们又研究预见控制系统的鲁棒控制，特别是把 H∞ 控制的思想方法借鉴了过来． Takaba ［13］通过求解一个线性矩阵不等式( LMI) 得 到状态反馈控制器，研究了凸多面体不确定离散时间 系统的预见控制问题． 文献［14］通过利用哈密顿矩阵 的性质，在引入一个辅助矩阵 Ｒiccati 方程的基础上， 研究了 FI 预见控制问题． 文献［15］在假设不确定系 统中的不确定矩阵为常数矩阵的情况下，通过构造扩 大误差系统，研究了不确定离散时间系统的鲁棒预见 控制问题，并给出不确定矩阵的扰动估计． Kojima 和 Ishijima ［16］基于矩阵 Ｒiccati 方程研究了时滞系统的预 见控制问题． Kojima ［17］进一步基于对 Ｒiccati 方程解性 质的分析，更加深刻研究更一般时滞系统的预见控制 问题，克服了文献［16］方法的局限性，设计一个一般 系统的 H∞ 预见控制器． 本文采用一种新的方法构造扩大误差系统，可以避 免文献［13，15，18--19］的误差系统中包含时变或不确定 系数的差分的困难，从而使得扩大误差系统变得简单， 因此易于处理． 然后基于鲁棒二次稳定性理论及线性 矩阵不等式的方法，设计一个带有预见作用的控制器， 使得系统虽然受到不确定性干扰，仍能实时无误差地跟 踪目标值信号，并实现最优鲁棒 H∞ 保性能控制． 全文沿用如下记号: P ＞ 0( P ＜ 0) 表示 P 为对称正 定( 负定) 矩阵; P ＞ Q( P ＜ Q) 表示 P － Q ＞ 0( P － Q ＜ 0) ; P≥0( P≤0) 表示 P 为对称半正定( 半负定) 矩阵， P≥Q( P≤Q) 表示 P － Q≥0( P － Q≤0) ． 1 问题描述及基本假设 考虑不确定离散时间系统: x( k + 1) =［A + ΔA］x( k) + ［B + ΔB］u( k) + Dw( k) ， y( k) = Cx( k) ， z( k) = C1 x( k) + Eu( k) + D1w( k) { ． ( 1) 式中: x( k) ∈Ｒn 为状态向量; u( k) ∈Ｒm 为控制输入 向量; y( k) ∈Ｒq 为观测输出; z( k) ∈Ｒl 为被控输出向 量; w( k) ∈Ｒp 为 L2［0，∞ ) 的干扰输入向量; A，B，C， C1，D，D1，E 为适当维数的常数矩阵; ΔA = ΔA( k，x， α) 和 ΔB = ΔB( k，x，α) 是关于时间变量 k、状态向量 x 和不确定参数 α 的不确定矩阵． 关于系统( 1) ，我们给出以下基本假设． 假设 1 设存在适当维数的常数矩阵 Ei、Hi 和不 确定矩阵 Σi = Σi ( k，x，α) ，i = 1，2，满足 ΔA = E1Σ1H1， ΔB = E2Σ2H2 { ， ， ( 2) ΣiΣT i ≤I． ( 3) 注 1 假设 1 的式( 2) 指的是系统( 1) 中不确定项 满足一定的匹配条件，而式( 3) 指的则是不确定项是 按范数有界的． 而且，通过表达式 ΔA = ΔA( k，x，α) 和 ΔB = ΔB( k，x，α) 表明，不确定项可以与状态向量有 关，也可以是时变的，还可能与某些无法确知的参数有 关． 所以，本文所指的不确定项是非常一般的． 我们还假设目标值信号是可预见的，即 假设 2 设目标值信号 r( k) ，r( k) ∈Ｒq 的预见步 数为 MＲ，即在当前时刻 k，目标值信号 r( k) ，r( k + 1) ， r( k + 2) ，…，r( k + MＲ ) 为已知． 我们还设 MＲ 步以后 目标值信号为 0: r( k + j) = 0，j = MＲ + 1，MＲ + 2，MＲ + 3，…． 注 2 事实上，按照控制系统本身的特点，只有一 段时间的可预见信号对系统的性能有较明显的影响， 因此在可预见步数以外的目标值信号的值我们并不关 心． 这里，假设它们恒为零完全是为了便于构造扩大 误差系统． 定义误差信号 e( k) = y( k) － r( k) ． ( 4) 对于系统( 1) 引入二次型性能指标函数 J = ∑ ∞ k = 0 ［e( k) T Qe e( k) + u( k) T Hu( k) ］． ( 5) 其中，Qe ＞ 0 和 H ＞ 0 是给定的加权矩阵． 本文的目的是设计一个带有预见作用的控制器， 使得闭合系统满足如下的鲁棒性能． ( 1) 性能指标函数 J 满足保成本性，即存在 J* 使 得 J≤J* ; ( 2) 给定正常数 γ，在零初始条件下，满足 H∞ 范 数约束条件 ‖z( k) ‖2≤γ‖w( k) ‖2，w( k) ∈L2［0，∞ ) ; ( 3) 系统受到不确定扰动的影响，其输出 y( k) 仍 然能够无静态误差跟踪目标值信号 r( k) ，即使 limk→∞ e( k) = limk→∞ ( y( k) － r( k) ) = 0． 本文会多次用到著名的 Schur 补引理． 引理 1 ［20］ ( Schur 补引理) 对给定的对称 矩 阵 ·1377·
·1378· 工程科学学报，第37卷，第10期 s=fS. S2 ,下列三个条件是等价的： (i)S0,有 3中的F可以不是方阵，U可以不是对角阵，但要求 EFG+GFET 0，根据正定矩阵的性质可知，存在 方阵，并且U>0必须是对角的 矩阵Z>0,使得U=Z.令M=ZFE-ZG,由高 等代数知识可得 2扩大误差系统的推导 0sM'M=(ZF"ET-Z-G)(ZFET-Z-G)= 我们构造扩大误差系统，然后针对该增广系统给 EFUFET -EFG-GFET +GU-G, 出鲁棒H.控制器，并研究其闭环系统所具有的上述鲁 由此得到 棒性能 EFG+GFTET &EFUFTET +G'U-G. 2.1误差系统的构造 下面的引理3和引理4都是引理2的推论 首先，由输出方程和式(4)得到 引理3设E,F,G为适当维数的矩阵.对适当维 e(k+1)=y(k+1)-r(k+1)= 数的U:I≥U>0和F:FFT≤I,下述不等式成立： Cx(k+1)-r(k+1)= EFG+GFET≤EET+GUlG. C[A+△A]x()+B+△B]u(k)+ 证明：由I≥U>0和FFT≤I易得，EFUFE≤ Dw(k)}-r(k+1). (6) EFFE≤EE,从而由上述引理2可得 EFG+GFTE≤EFUFE+GU'G≤ 引进形式状态向量x仙-：份1并令 EE+GUG. 引理4假设E,F,G,U为适当维数的矩阵，如果 4=0Aa=g1o=-81 F=diag{F,F2,…,Fx},其中F(k)∈R,F,(k) F(k)≤L,(i=1,2,…,N),U=diag{u,l,u2le,…, M-88aa=1,P-1 u},其中，：>0(i=1,2,…,N),则有 式(1)和式(6)联立即可得 EFG+GFE≤EUE+GU-G. X,(k+1)=[A,+△A]X1(k)+ 证明：在上面对F和U的假设下，可得到 B1+△B]u(k)+D,w(k)+F(k+1).(7) F 2.2扩大误差系统的构造 FUF 把目标值信号的信息加入系统(7).再令 r() r(k+1) X.(k)= ∈R.Dg, Lr(k+M) ro I 03 0 u F FT AR= ∈R+x,+)7 FFT 0 … …01 …… 00」 依照前面的假设2，就得到等式 Xg (+1)=AgX (k). (8) 再次引进形式的状态向量
工程科学学报，第 37 卷，第 10 期 S = S11 S12 ST 12 S [ ] 22 ，下列三个条件是等价的: ( i) S ＜ 0; ( ii) S11 ＜ 0，S22 － ST 12S － 1 11 S12 ＜ 0; ( iii) S22 ＜ 0，S11 － S12S － 1 22 ST 12 ＜ 0． 本文还需要用到一个推广的矩阵不定式和其特 例，就是下面的引理 2、引理 3 和引理 4． 引理 2 设 E，F，G 为适当维数的矩阵，则对适当 维数的 U ＞ 0，有 EFG + GT FT ET ≤EFUFT ET + GT U － 1 G． 证明: 由于 U ＞ 0，根据正定矩阵的性质可知，存在 矩阵 Z ＞ 0，使得 U = Z2 ． 令 M = ZFT ET － Z － 1 G，由高 等代数知识可得 0≤MT M = ( ZFT ET － Z － 1 G) T ( ZFT ET － Z － 1 G) = EFUFT ET － EFG － GT FT ET + GT U － 1 G， 由此得到 EFG + GT FT ET ≤EFUFT ET + GT U － 1 G． 下面的引理 3 和引理 4 都是引理 2 的推论． 引理 3 设 E，F，G 为适当维数的矩阵． 对适当维 数的 U∶ I≥U ＞ 0和 F∶ FFT ≤I，下述不等式成立: EFG + GT FT ET ≤EET + GT U － 1 G． 证明: 由 I≥U ＞ 0 和 FFT ≤I 易得，EFUFT ET ≤ EFFT ET ≤EET ，从而由上述引理 2 可得 EFG + GT FT ET ≤EFUFT ET + GT U － 1 G≤ EET + GT U － 1 G． 引理 4 假设 E，F，G，U 为适当维数的矩阵，如果 F = diag{ F1，F2，…，FN } ，其中 Fi ( k) ∈Ｒfi × fi ，Fi ( k) FT i ( k) ≤Ifi ，( i = 1，2，…，N) ，U = diag { u1 If1 ，u2 If2 ，…， uN IfN } ，其中，ui ＞ 0( i = 1，2，…，N) ，则有 EFG + GT FT ET ≤EUET + GT U － 1 G． 证明: 在上面对 F 和 U 的假设下，可得到 FUFT = F1 F2 F N μ1 If1 μ2 If2 μN If N · FT 1 FT 2 FT N = μ1F1FT 1 μ2F2FT 2 μN FN FT N ≤ μ1 If1 μ2 If2 μN If N = U 代入引理2 的不等式 EFG + GT FT ET ≤EFUFT ET + GT U － 1 G 中，就证明了引理 4 中不等式的成立． 注 3 与许多文献所使用的矩阵不等式相 比［21--22］，引理 3 已经是推广的矩阵不等式． 另外，引理 3 中的 F 可以不是方阵，U 可以不是对角阵，但要求 U≤I． 在引理 4 中，要求 F 是方阵，从而每个 Fi 都是 方阵，并且 U ＞ 0 必须是对角的． 2 扩大误差系统的推导 我们构造扩大误差系统，然后针对该增广系统给 出鲁棒 H∞ 控制器，并研究其闭环系统所具有的上述鲁 棒性能． 2. 1 误差系统的构造 首先，由输出方程和式( 4) 得到 e( k + 1) = y( k + 1) － r( k + 1) = Cx( k + 1) － r( k + 1) = C{ ［A + ΔA］x( k) +［B + ΔB］u( k) + Dw( k) } － r( k + 1) ． ( 6) 引进形式状态向量 X1 ( k) = e( k) x( k [ ] ) ． 并令 A1 = 0 CA 0[ ] A ，B1 = CB [ ] B ，D1 = CD [ ] D ， ΔA1 = 0 CΔA 0 Δ [ ] A ，ΔB1 = CΔB Δ [ ] B ，F = － I [ ] 0 ． 式( 1) 和式( 6) 联立即可得 X1 ( k + 1) =［A1 + ΔA1］X1 ( k) + ［B1 + ΔB1］u( k) + D1w( k) + Fr( k + 1) ． ( 7) 2. 2 扩大误差系统的构造 把目标值信号的信息加入系统( 7) ． 再令 XＲ ( k) = r( k) r( k + 1) r( k + MＲ ) ∈Ｒ( MＲ + 1) q ， AＲ = 0 I 0 0 0 … … 0 I 0 … … 0 0 ∈Ｒ［( MＲ + 1) q］× ［( MＲ + 1) q］． 依照前面的假设 2，就得到等式 XＲ ( k + 1) = AＲ XＲ ( k) ． ( 8) 再次引进形式的状态向量 ·1378·
李丽等：具有跟踪鲁棒性能的H_最优预见控制 ·1379· e(k) rX,() CE x ( X.(k) E EDH10]=EΣ五， (13) X() 0 式(7)和式(8)联立写成 「CEΣ2H21「CE21 x(k+1)=A+△A)x()+ 4B= E22H2 E2E,H2=EΣ五，(14) B+△B]u(k)+Dw(k) (9) 0 0 由形式系统(9)的状态变量可知其观测输出和被 式中， 控输出表示为 「CE,1 y(k)=C(k), (10) E,= E Σ=Σ，H1=DH10], z(k)=C(k)+Eu (k)+Dw(k). (11) 其中 CE, T0 CA:] -1 CB E2= 0 E ,2=2,A2=H L0」 L00AR」 =0 -1 这里的不确定矩阵仍然满足 0… 0], ≤1，i=1,2 (15) -1H8-tg8 而且△A,△B是范数有界的. 把性能指标函数利用形式系统(12)的状态向量 和输入向量表示，得到 J- K,()TX()门 [X (k)1 X(+ C=:C:0].C=C0] 这里，A,B,D为扩大误差系统的常数矩阵，△A, u(k)"Hu(k) (16) △B为系统的不确定矩阵. 就是说，我们得到了扩大误差系统 ,H如式(5)所示. x(k+1)=A+△4]x(k)+ 现在引进离散积分器网，它由下式定义 B+△B]u(k)+Dw(k), (12) v(i+1)=v(i)+e(i). (17) y(k)=Cx(), 其中v(0)可以任意赋值，一般选择v(O)=0. Lz(k)=C(k)+Eu(k)+Dw(k). 注4这里，我们在计算式(6)时不用把y(k+1) 鸭定义-[图1结合式9)和式) 和x(k+1)的差分引进来，从而也不需要对系统(1)的 得到 状态方程两边取差分，于是避免求系统的有关系数矩 阵的差分，使得即使系统是时变的，其扩大误差系统 (k+1)=+△)(k)+B+△Bu(k)+Dw(k). (18) (12)仍然有比较简单的形式. 注5注意到扩大误差系统(12)中不再出现“ 由系统(18)的状态变量，观测输出和被控输出可分别 (k)的差分，而只出现(k),因此性能指标函数中也 表示为 不包括u()的差分.文献23]已经指出，性能指标函 y(k)=C(k), (19) 数中包括(k)的差分可以使得最后的闭环系统中包 z(k)=C,(k)+Eu()+D,w(k). (20) 含积分器从而有助于消除静态误差.为了达到消除静 式中， 态误差的目的，我们可以人为添加积分器网 TO CA Gw:01 CB 进一步，考虑到前面关于不确定性的假设，我们 01 0 A 0 :0 B 得到 B 00A0 0 r0CE,,H,:0 L1001 △A=0E,,H10 L00 c=[0]=DC00]
李 丽等: 具有跟踪鲁棒性能的 H∞ 最优预见控制 x( k) = X1 ( k) XＲ ( k [ ] ) = e( k) x( k) XＲ ( k ) ． 式( 7) 和式( 8) 联立写成 x( k + 1) =［A + ΔA］x( k) + ［B + ΔB］u( k) + Dw( k) ． ( 9) 由形式系统( 9) 的状态变量可知其观测输出和被 控输出表示为 y( k) = Cx( k) ， ( 10) z( k) = C1 x( k) + Eu( k) + D1w( k) ． ( 11) 其中 A = A1 GP [ ] 0 AＲ = 0 CA GPＲ 0 A 0 0 0 A Ｒ ，B = B1 [ ] 0 = CB B 0 ， GPＲ =［0 － I 0 … 0］， D = D1 [ ] 0 = CD D 0 ，ΔA = ΔA1 0 [ ] 0 0 = 0 CΔA 0 0 ΔA 0 0 0 0 ， ΔB = ΔB1 [ ] 0 = CΔB ΔB 0 ， C =［0 C 0］，C1 =［0 C1 0］． 这里，A，B，D 为扩大误差系统的常数矩阵，ΔA， ΔB 为系统的不确定矩阵． 就是说，我们得到了扩大误差系统 x( k + 1) =［A + ΔA］x( k) + ［B + ΔB］u( k) + Dw( k) ， y( k) = Cx( k) ， z( k) = C1 x( k) + Eu( k) + D1w( k) ． ( 12) 注 4 这里，我们在计算式( 6) 时不用把 y( k + 1) 和 x( k + 1) 的差分引进来，从而也不需要对系统( 1) 的 状态方程两边取差分，于是避免求系统的有关系数矩 阵的差分，使得即使系统是时变的，其扩大误差系统 ( 12) 仍然有比较简单的形式． 注 5 注意到扩大误差系统( 12) 中不再出现 u ( k) 的差分，而只出现 u( k) ，因此性能指标函数中也 不包括 u( k) 的差分． 文献［23］已经指出，性能指标函 数中包括 u( k) 的差分可以使得最后的闭环系统中包 含积分器从而有助于消除静态误差． 为了达到消除静 态误差的目的，我们可以人为添加积分器［24］． 进一步，考虑到前面关于不确定性的假设，我们 得到 ΔA = 0 CE1Σ1H1 0 0 E1Σ1H1 0 0 0 0 = CE1 E1 0 Σ1［0 H1 0］= E1Σ1H1， ( 13) ΔB = CE2Σ2H2 E2Σ2H2 0 = CE2 E2 0 Σ2H2 = E2Σ2H2 ． ( 14) 式中， E1 = CE1 E1 0 ，Σ1 = Σ1，H1 =［0 H1 0］， E2 = CE2 E2 0 ，Σ2 = Σ2，H2 = H2 ． 这里的不确定矩阵仍然满足 ΣiΣT i ≤I，i = 1，2． ( 15) 而且 ΔA，ΔB 是范数有界的． 把性能指标函数利用形式系统( 12) 的状态向量 和输入向量表示，得到 J = ∑ ∞ k = 0 {［X1 ( k) T XＲ ( k) T ］Q X1 ( k) XＲ [ ] ( k) + u( k) T Hu( k } ) ． ( 16) 式中，Q = Q1 0 [ ] 0 0 ，Q1 = Qe 0 [ ] 0 0 ，H 如式( 5) 所示． 现在引进离散积分器［24］，它由下式定义 v( i + 1) = v( i) + e( i) ． ( 17) 其中 v( 0) 可以任意赋值，一般选择 v( 0) = 0． 再定义 x槇( k) = x( k) v( k [ ] ) ，结 合 式 ( 9 ) 和 式 ( 17 ) 得到 x槇( k + 1) =［A 槇 + ΔA 槇］x槇( k) +［B 槇 + ΔB 槇］u( k) + D 槇w( k) ． ( 18) 由系统( 18) 的状态变量，观测输出和被控输出可分别 表示为 y( k) = C 槇x槇( k) ， ( 19) z( k) = C 槇1 x槇( k) + Eu( k) + D1w( k) ． ( 20) 式中， A 槇 = A 0 [ ] C I = 0 CA GPＲ 0 0 A 0 0 0 0 AＲ 0 I 0 0 I ，B 槇 = B [ ] 0 = CB B 0 0 ， C 槇 =［C 槇 0］=［0 C 00］， ·1379·
·1380· 工程科学学报，第37卷，第10期 CD ro C△A 0:07 下面我们利用LI的有关理论和方法给出式 D 0 (24)中的控制器增益矩阵K,使得闭环系统(25)满足 △A= T△A 01 44 00 0 0 0 0 00 第一节所述的鲁棒性能. 0 0 00 3 带有预见作用的H,控制器的设计 C△B △B C=C,0]=0C0:0] 下面的定理1给出闭环系统(25)为H.范数界y 0 保成本可镇定的充分条件 0 定理1若假设1和假设2成立，给定Y>0,如果 式(18)、(19)和(20)一起，就是我们设计预见控制器 存在对称正定矩阵P和矩阵K,满足不等式 所需要的系统 由式(13)和式(14)可得系统(18)中不确定矩阵 -P1+y2前A+4+派+派y2i加 可表示为 (G+△+BX+△B)T-P+KH胍+0 0,所以这个Lyapunov函数是正定的.该Lya- punov函数沿系统(18)的闭环系统(25)的轨线的差 1a=a,之- 分为 △V(R(k))=(k+1)TP(k+1)-(k)TP(k)= 即形式系统(18)仍然满足匹配条件 同样，把性能指标函数用式(18)中的有关量表示 {R(k)TA+△A+BK+△BKT+w(k)T) 可得 P{A+AA+BK+△BK](k)+ 了=J+名（倒'0.（因= D(k)}-(k)TP(k). 当w(k)=0时，将式(25)代入上式整理得 △V(R(k))=R(k)TM(). 其中 a('Ha(因+('Q.(= M=+△A+BK+△BK]TPA+ a{ww[881图1 △A+BK+△BK]-P. 下面分三步证明结论. 第一步证明闭环系统二次稳定 因ra(因}=云R('Q)+ 由高等代数相关知识可知，不等式(26)成立 时，有 u(k)'Hu(]. (23) ,H如上所定义 -P-+y2DD A+△A+BK+△BK] <0, (A+△A+BK+△BK)T-P+KHK+O 假设系统(18)的控制输入为 (27) u(k)=K(k), (24) 从明显的结果 那么系统(18)的闭环系统为 R(k+1)=A+△A+BK+△BK]r(k)+Dw(). 0 0 ≥0 (25) +KHK
工程科学学报，第 37 卷，第 10 期 D 槇 = D [ ] 0 = CD D 0 0 ，ΔA 槇 = ΔA 0 [ ] 0 0 = 0 CΔA 0 0 0 ΔA 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ， ΔB 槇 = ΔB [ ] 0 = CΔB ΔB 0 0 ，C 槇1 =［C1 0］=［0 C1 00］． 式( 18) 、( 19) 和( 20) 一起，就是我们设计预见控制器 所需要的系统． 由式( 13) 和式( 14) 可得系统( 18) 中不确定矩阵 可表示为 ΔA 槇 = ΔA 0 [ ] 0 0 = E1Σ1H1 0 [ ] 0 0 = E1 [ ] 0 Σ1［H1 0］= E 槇1Σ 槇1H 槇1， ( 21) ΔB 槇 = ΔB [ ] 0 = E2Σ2H2 [ ] 0 = E2 [ ] 0 Σ2H2 = E 槇2Σ 槇2H 槇2 ． ( 22) 这里， E 槇1 = E1 [ ] 0 ，H 槇1 =［H1 0］，Σ 槇1 = Σ1， E 槇2 = E2 [ ] 0 ，H 槇2 = H2，Σ 槇2 = Σ2 ． 即形式系统( 18) 仍然满足匹配条件． 同样，把性能指标函数用式( 18) 中的有关量表示 可得 J 槇 = J + ∑ ∞ k = 0 v( k) T Qv v( k) = ∑ ∞ k = 0 {［X1 ( k) T XＲ ( k) T ］Q X1 ( k) XＲ [ ] ( k) + u( k) T Hu( k) + v( k) T Qv v( k } ) = ∑ ∞ k = 0 {［x( k) T v( k) T ］ Q 0 [ ] 0 Qv x( k) v( k [ ] ) + u( k) T Hu( k } ) = ∑ ∞ k = 0 ［x槇( k) T Q槇x槇( k) + u( k) T Hu( k) ］． ( 23) 其中，Q 槇 = Q 0 [ ] 0 Qv ，H 如上所定义． 假设系统( 18) 的控制输入为 u( k) = Kx槇( k) ， ( 24) 那么系统( 18) 的闭环系统为 x槇( k + 1) =［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］x槇( k) + D 槇w( k) ． ( 25) 下面我 们 利 用 LMI 的有关理论和方法给出式 ( 24) 中的控制器增益矩阵 K，使得闭环系统( 25) 满足 第一节所述的鲁棒性能． 3 带有预见作用的 H∞ 控制器的设计 下面的定理 1 给出闭环系统( 25) 为 H∞ 范数界 γ 保成本可镇定的充分条件． 定理 1 若假设 1 和假设 2 成立，给定 γ ＞ 0，如果 存在对称正定矩阵 P 和矩阵 K，满足不等式 － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K γ － 2 D 槇DT 1 ( A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K) T － P + KT HK + Q 槇 ST γ － 2 D1D 槇T S γ － 2 D1DT 1 － I ＜ 0， ( 26) 则当采用状态反馈控制器( 24) 时，闭环系统( 25) 是具 有 H∞ 范数界 γ 保成本可镇定的，且性能指标 J 有上界 J* = x槇( 0) T Px槇( 0) ． 其中 S = C 槇1 + EK． 证明: 选取 Lyapunov 函数 V( x 槇( k) ) = x槇( k) T P x槇( k) ． 由于 P ＞ 0，所以这个 Lyapunov 函数是正定的． 该 Lyapunov 函数沿系统( 18) 的闭环系统( 25) 的轨线的差 分为 ΔV( x槇( k) ) = x槇( k + 1) T P x槇( k + 1) － x槇( k) T P x槇( k) = { x槇( k) T ［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］T + w( k) T D 槇T } P{ ［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］x槇( k) + D 槇w( k) } － x槇( k) T P x槇( k) ． 当 w( k) = 0 时，将式( 25) 代入上式整理得 ΔV( x槇( k) ) = x槇( k) T M x槇( k) ． 其中 M =［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］T P［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］－ P． 下面分三步证明结论． 第一步 证明闭环系统二次稳定． 由高等 代 数 相 关 知 识 可 知，不 等 式 ( 26 ) 成 立 时，有 － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K ( A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K) T － P + KT [ ] HK + Q 槇 ＜ 0， ( 27) 从明显的结果 γ － 2 D 槇槇DT 0 0 Q 槇 + K [ ] T HK ≥0 ·1380·
李丽等：具有跟踪鲁棒性能的H_最优预见控制 ·1381· 和式(27)可得 [APA+STS-P APD+SD -P1 A+△A+BK+△BK] N= 0,如果 其中， 存在正定对称矩阵0<U≤I,对称正定矩阵X及矩阵 5因-份1i-:Ai:瓢+款 Y,使得对所有允许的不确定性和干扰w,使得LMI -X+∑EE+y2D0 AX+BY YDDI 0 00 0 0 (AX+BY) -X XC+YET XH YH:0 Y X02 yDD C X+EY yD D:-I 0 00 0 0 0 HX 0 U U, U, 0 0 <0(28) 0 H.Y 0 U U U 0 0 0 0 0 U U U 0 0 0 Y 0 0 -H 0 0 Ox 0 0 0 0 0 -I
李 丽等: 具有跟踪鲁棒性能的 H∞ 最优预见控制 和式( 27) 可得 － P － 1 A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K ( A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K) T － [ ] P ＜ 0． 由 Schur 补引理可得，上式等价于 M ＜ 0，从而 ΔV≤ λmax ( M) ‖x 槇( k) ‖2 ，因此闭环系统是二次稳定的． 第二步 证明其保成本性． 同样从矩阵 γ － 2 D 槇槇DT 0 [ ] 0 0 ≥0 及式( 27) 可知 － P － 1 A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K ( A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K) T － P + Q 槇 + K [ ] T HK ＜ 0． 由 Schur 补引理可知上式等价于 ［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］T P［A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K］－ P + Q 槇 + KT HK ＜ 0． 因此有 J≤ ∑ ∞ k = 0 ( － ΔV) = V( 0) = x槇( 0) T P x槇( 0) = J* ． 第三步 证明 H∞ 范数有界性． 在零初始条件下，引入 J' = ∑ ∞ k = 0 ［z( k) T z( k) － γ2 w( k) T w( k) ］． 对任意的 w( k) ∈L2［0，∞ ) ，利用 Lyapunov 泛函和零 初始条件 J' = ∑ ∞ k = 0 ［z( k) T z( k) － γ2 w( k) T w( k) + ΔV( x槇( k) ) ］+ ∑ ∞ k = 0 ( － ΔV( x槇( k) ) ) = ∑ ∞ k = 0 ζ( k) T Nζ( k) ． 其中， ζ( k) = x( k) w( k [ ] ) ，^ A = A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K， N = ^ AT P ^ A + ST S － P ^ AT P D 槇 + ST D1 D 槇T P ^ A + DT 1 S － γ2 I + D 槇T P D 槇 + DT 1 D 1 ． 下面证明 N ＜ 0． 记 Ω1 = － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT γ － 2 D 槇DT 1 ^ A γ － 2 D1D 槇T γ － 2 D1DT 1 － I S ^ AT ST － P ， Ω2 = － P － 1 0 A ^ D 槇 0 － I S D1 ^ AT ST － P 0 D 槇T DT 1 0 － γ2 I ． 对矩阵 Ω2 进行合同变换 I 0 0 γ － 2 D 槇 0 I 0 γ － 2 D1 0 0 I 0 0 0 0 I Ω2 I 0 0 γ － 2 D 槇 0 I 0 γ － 2 D1 0 0 I 0 0 0 0 I T = Ω1 0 0 － γ [ ] 2 I ． 由式 ( 26 ) 易 得 Ω1 ＜ 0，从 而 Ω1 0 0 － γ [ ] 2 I ＜ 0，由 于 Ω1 0 0 － γ [ ] 2 I 和 Ω2 是合同的，进而 Ω2 ＜ 0． 然后利用 Schur 补引理可知 Ω2 ＜ 0 等价于 N ＜ 0，再由 N ＜ 0 可 以得 J' ＜ 0，所以有‖z( k) ‖2≤γ‖w( k) ‖2 ． 定理 1 得证． 定理 2 给出控制器设计的方法． 定理 2 若假设 1 和假设 2 成立，给定 γ ＞ 0，如果 存在正定对称矩阵 0 ＜ U≤I，对称正定矩阵 X 及矩阵 Y，使得对所有允许的不确定性和干扰 w，使得 LMI － X + ∑ 2 i = 1 E 槇iE 槇T i + γ －2 D 槇槇DT A 槇X + B 槇Y γ －2 D 槇DT 1 0 0 0 0 0 ( A 槇X + B 槇Y) T － X XT C 槇T 1 + YT ET XT H 槇T 1 YT H 槇T 2 0 YT XT Q 槇1 /2 γ －2 D1D 槇T C 槇1X + EY γ －2 D1DT 1 － I 0 0 0 0 0 0 H 槇1X 0 U1 U2 U3 0 0 0 H 槇2Y 0 UT 2 U4 U5 0 0 0 0 0 UT 3 UT 5 U6 0 0 0 Y 0 0 0 0 － H－1 0 0 Q 槇1 /2 X 0 0 0 0 0 － I ＜ 0 ( 28) ·1381·
·1382· 工程科学学报，第37卷，第10期 有一个可行解U,X,Y,则状态反馈控制器(24)是不 确定系统(18)的具有H。保成本控制器，且u(k)= 「E 0> 0 oTo YX(),性能指标J有上界了=(0)TXx(O). 0 0 2 00 HK 0 式(28)中 .0 0 0」 0 0 0L0 00 r0, U, U, 0= U U 0 0 0 0 E E,01 U 0 H,K 0 0 2 0 0 0 0 <0. 证明：将式(26)分解得到 0 0 0 0 0 0 0 0 0」 (29) -P-1+y-2前 A+△A+BX+△BX y2DDI (A+△+派+△B)T-P+KHR+0 ST 由引理3可知，对所有满足≤【矩阵三，矩阵不等 式(29)成立，若存在正定对称矩阵U≤I使得 yDDT yD DI-1 A+BK Y-DDI -P-+yDD A+BK -P1+y20 (A+BK)T ST (A+BK)T -P+KHK+0 ST -P+KHK+0 yD Di-I yDD S YDD yD DI-I 0 △A+△BK0 「EE, OTE E. 0 (△A+△BK)T 0 0 0 <0. 0 0 0 00 0 -0 0 0 0L0 00 0」 利用式(21)和式(22)对上式变形可得 0 A 0 0 0 -P-1+y2D0r A+BK YDDI 0 H,K 0 0 AK 0 <0. (A+BK)T -P+KHK+0 s" LO 0 LO 0 0 yDDT S yD DI-1 再次利用Schur补引理可知上式等价于 -PYD A+BK YDDT 0 0 0 (A+BK)T -P+KHK +0 ST H KH 0 yD DI Y-D DI -I 0 0 0 <0. (30) 0 a 0 U, U, U, 0 H.K 0 U U. U 0 0 0 U U U。」 对上式进行合同变换，对它左乘以对称矩阵dig(1,P,L,1,I,),同时右乘以这个矩阵的转置（即它自己）， 并令X=P,Y=KP可得 -X+y防+夏E AX+BY YDDI 0 0 0 (AX+BY)T -X+YHY +XOX XTST XH YH 0 Y DD SX y2D,D-10 0 0 <0. (31) 0 HX 0 U U, U 0 H,Y 0 U吲 U U 0 0 0 U U U。J
工程科学学报，第 37 卷，第 10 期 有一个可行解 U，X，Y，则状态反馈控制器( 24) 是不 确定系统( 18) 的具有 H∞ 保成本控制器，且 u( k) = YX － 1 x槇( k) ，性能指标 J 有上界 J* = x槇( 0) T X － 1 x槇( 0) ． 式( 28) 中 U = － U1 U2 U3 UT 2 U4 U5 UT 3 UT 5 U 6 ． 证明: 将式( 26) 分解得到 － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K γ － 2 D 槇DT 1 ( A 槇 + ΔA 槇 + B 槇K + ΔB 槇K) T － P + KT HK + Q 槇 ST γ － 2 D1D 槇T S γ － 2 D1DT 1 － I = － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT A 槇 + B 槇K γ － 2 D 槇DT 1 ( A 槇 + B 槇K) T － P + KT HK + Q 槇 ST γ － 2 D1D 槇T S γ － 2 D1DT 1 － I + 0 ΔA 槇 + ΔB 槇K 0 ( ΔA 槇 + ΔB 槇K) T 0 0 0 0 0 ＜ 0． 利用式( 21) 和式( 22) 对上式变形可得 － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT A 槇 + B 槇K γ － 2 D 槇DT 1 ( A 槇 + B 槇K) T － P + KT HK + Q 槇 ST γ － 2 D1DT 1 － I γ － 2 D1D 槇T S γ － 2 D1DT 1 － I + E 槇1 E 槇2 0 0 0 0 0 0 0 Σ 槇1 0 0 0 Σ 槇2 0 0 0 0 0 H 槇1 0 0 H 槇2K 0 0 0 0 + 0 H 槇1 0 0 H 槇2K 0 0 0 0 T Σ 槇1 0 0 0 Σ 槇2 0 0 0 0 T E 槇1 E 槇2 0 0 0 0 0 0 0 T ＜ 0． ( 29) 由引理 3 可知，对所有满足 Σ 槇iΣ 槇T i ≤I 矩阵 Σ 槇i，矩阵不等 式( 29) 成立，若存在正定对称矩阵 U≤I 使得 － P － 1 + γ － 2 D 槇槇DT A 槇 + B 槇K γ － 2 D 槇DT 1 ( A 槇 + B 槇K) T － P + KT HK + Q 槇 ST γ － 2 D1D 槇T S γ － 2 D1DT 1 － I + E 槇1 E 槇2 0 0 0 0 0 0 0 E 槇1 E 槇2 0 0 0 0 0 0 0 T + 0 H 槇1 0 0 H 槇2K 0 0 0 0 T U － 1 0 H 槇1 0 0 H 槇2K 0 0 0 0 ＜ 0． 再次利用 Schur 补引理可知上式等价于 － P－1 + γ －2 D 槇槇DT + ∑ 2 i = 1 E 槇iE 槇T i A 槇 + B 槇K γ －2 DDT 1 0 0 0 ( A 槇 + B 槇K) T － P + KT HK + Q 槇 ST H 槇T 1 KT H 槇T 2 0 γ －2 D1DT S γ －2 D1DT 1 － I 0 0 0 0 H 槇1 0 U1 U2 U3 0 H 槇2K 0 UT 2 U4 U5 0 0 0 UT 3 UT 5 U 6 ＜ 0． ( 30) 对上式进行合同变换，对它左乘以对称矩阵 diag( I，P － 1 ，I，I，I，I) ，同时右乘以这个矩阵的转置( 即它自己) ， 并令 X = P － 1 ，Y = KP － 1 可得 － X + γ －2 D 槇槇DT + ∑ 2 i = 1 E 槇iE 槇T i A 槇X + B 槇Y γ －2 D 槇DT 1 0 0 0 ( A 槇X + B 槇Y) T － X + YT HY + XT Q 槇X XT ST XT H 槇T 1 YT H 槇T 2 0 γ －2 D1D 槇T SX γ －2 D1DT 1 － I 0 0 0 0 H 槇1X 0 U1 U2 U3 0 H 槇2Y 0 UT 2 U4 U5 0 0 0 UT 3 UT 5 U 6 ＜ 0． ( 31) ·1382·
李丽等：具有跟踪鲁棒性能的H.最优预见控制 ·1383· 根据Schur补性质可知，式(28)等价于式(31)，故式 (28)能保证式(31)成立.又因为式(31)和式(30)是 e(s)+v(0)). 合同的的，所以式(30)成立，从而式(29)成立，进而式 因此定理4得证. (26)成立.由定理1可知定理2成立. 4数值仿真 定理3对于给定的y>0,如果以下优化问题 Trace (G) 考虑离散时间系统 s.ti(28) (32) rx(k+1)=A+△4]x(k)+B+△B]u()+Dw(), 可9o, y()=Cx(), (33) z(A)=C,x()+Eu(）+D,w(), iii00 (34) (37) 取 有一个最优解(U,X,Y,G),则u(k)=YX-x (k)是系统(18)H.最优保性能控制律，相应的一个系 g&g1,a=6s1,D-851 r0.70650.33801 A= 统性能上界是J=Trace(X). 证明：根据定理2，利用问题(32)和(34)的任意可 c-0121.c-0218=[a-61 行解构造得到的控制律u(k)=YXx(k)将保证闭环 系统二次稳定且满足H.范数有界性.由定理2可知 -0m 闭环系统性能指标的界依赖初始状态，采用相关文献 0.1a3 0.2cos(0.3km)+a11 的常用假设可得J=Trace(P)=Trace(X),则闭环 0.3sin(0.5km)+az -0.01 系统的性能指标J≤Trace(X).进而，从矩阵Schur 补性质，式(33)等价于X1<G.因此Trace(G)的最 r0. 0-02] 小化将保证性能上界的最小化.约束条件和目标函数 的凸性保证了如果由式(32)、(33)和(34)确定的问题 -80 有解，则一定是该问题的全局最优解.定理3得证. r0.Isin (0.lkm)+a3 0.3a1 定理4若假设1和假设2成立，定理3中的由式 (32)~式(34)确定的优化问题有一个最优解(U°， -0.2a2 a4sa54e+nl【o9il X,Y,G),则系统(1)的控制输入可以取为 1a,1≤0.5(i=1,2,3,4)为不确定参数.千扰取为 a)=ke因+kx因+龙k同rk+d+ w()=m0.01π，显然()∈L,D,x）. k+0.5 k(c0+ro. 与系统(1)对比，有 (35) 式中 g-80" K=k。k.ka(O)k.(1)…k.(Ma)k], 0.1a 0.2cos(0.3km）+a11 且在此控制律作用下，系统(1)的闭环系统的输出 王-{03sna.sa）+ -0.01 y(k)能够鲁棒跟踪目标值信号r(k),并且实现闭环系 统鲁棒稳定及系统的H.保性能控制最优化. a=-0 证明：当假设1和假设2成立时，我们可以得到扩 0.1sin(0.1kr)+a3 0.3a1 2= 大误差系统(18).如果定理3中的由式(32)~式 -0.2a2 0.4cos(0.5km)+aa] (34)确定的优化问题有一个最优解(U,X,Y, G).由定理3知 4=9 u(k)=Y'X (k)=K(k) (36) 验证知，和2对任何k满足不等式(3). 是系统(18)在性能指标(23)下的最优保性能控制律. 通过对误差的调整，我们取权重矩阵为Q.=5、 对增益矩阵K进行分解 2,=1.0和H=10.我们分别对预见步数MR=2、Mg= K=k。k,kR(O)kR(1)…kR(MR)k,], 5和没有预见三种情况，针对不同的目标值信号进行 则式(36)可写为 仿真.选取y=5,应用MATLAB的LMI工具箱可 u()=k.e()+kx()+∑k()r(k+i)+ 求得： 当预见步数Mg=2时，求得
李 丽等: 具有跟踪鲁棒性能的 H∞ 最优预见控制 根据 Schur 补性质可知，式( 28) 等价于式( 31) ，故式 ( 28) 能保证式( 31) 成立． 又因为式( 31) 和式( 30) 是 合同的的，所以式( 30) 成立，从而式( 29) 成立，进而式 ( 26) 成立． 由定理 1 可知定理 2 成立． 定理 3 对于给定的 γ ＞ 0，如果以下优化问题 min U，X，Y，G Trace( G) s． t． i ( 28) ( 32) ii G I [ ] I X ＞ 0， ( 33) iii 0 ＜ U≤I，G ＞ 0 ( 34) 有一个最优解( U* ，X* ，Y* ，G* ) ，则 u( k) = Y* X* － 1 x 槇 ( k) 是系统( 18) H∞ 最优保性能控制律，相应的一个系 统性能上界是 J* = Trace( X* － 1 ) ． 证明: 根据定理 2，利用问题( 32) 和( 34) 的任意可 行解构造得到的控制律 u( k) = YX － 1 x 槇( k) 将保证闭环 系统二次稳定且满足 H∞ 范数有界性． 由定理 2 可知 闭环系统性能指标的界依赖初始状态，采用相关文献 的常用假设可得 J* = Trace( P) = Trace( X － 1 ) ，则闭环 系统的性能指标 J≤Trace( X － 1 ) ． 进而，从矩阵 Schur 补性质，式( 33) 等价于 X － 1 ＜ G． 因此 Trace( G) 的最 小化将保证性能上界的最小化． 约束条件和目标函数 的凸性保证了如果由式( 32) 、( 33) 和( 34) 确定的问题 有解，则一定是该问题的全局最优解． 定理 3 得证． 定理 4 若假设 1 和假设 2 成立，定理 3 中的由式 ( 32) ～ 式( 34) 确定的优化问题有一个最优解( U* ， X* ，Y* ，G* ) ，则系统( 1) 的控制输入可以取为 u( k) = ke e( k) + kxx( k) + ∑ MＲ i = 0 kＲ ( i) r( k + i) + kv ( ∑ k－1 s = 0 e( s) + v( 0) ) ． ( 35) 式中 K =［ke kx kＲ ( 0) kＲ ( 1) … kＲ ( MＲ ) kv］， 且在此控制律作用下，系 统( 1) 的闭环系统的输出 y( k) 能够鲁棒跟踪目标值信号 r( k) ，并且实现闭环系 统鲁棒稳定及系统的 H∞ 保性能控制最优化． 证明: 当假设 1 和假设 2 成立时，我们可以得到扩 大误差 系 统( 18) ． 如 果 定 理 3 中 的 由 式( 32 ) ～ 式 ( 34) 确定的优化问题有一个最优解( U* ，X* ，Y* ， G* ) ． 由定理 3 知 u( k) = Y* X* － 1 x 槇( k) = Kx槇( k) ( 36) 是系统( 18) 在性能指标( 23) 下的最优保性能控制律． 对增益矩阵 K 进行分解 K =［ke kx kＲ ( 0) kＲ ( 1) … kＲ ( MＲ ) kv］， 则式( 36) 可写为 u( k) = ke e( k) + kxx( k) + ∑ MＲ i = 0 kＲ ( i) r( k + i) + kv ( ∑ k－1 s = 0 e( s) + v( 0) ) ． 因此定理 4 得证． 4 数值仿真 考虑离散时间系统 x( k +1) =［A + ΔA］x( k) +［B + ΔB］u( k) + Dw( k) ， y( k) = Cx( k) ， z( k) = C1 x( k) + Eu( k) + D1w( k { ) ， ( 37) 取 A = 0. 7065 0. 3380 [ ] 0. 5879 0. 9573 ，B = 0. 8520 [ ] 0. 3369 ，D = 0. 22 [ ] 0. 25 ， C =［1 1. 2］，C1 = 0. 7 1 [ ] 0. 2 1 ，E = [ ] 3 2 ，D1 = 0. 2 [ ] 0. 1 ， ΔA = － 0. 01 0 [ ] 0 0. 02 · 0. 1a3 0. 2cos( 0. 3kπ) + a1 0. 3sin( 0. 5kπ) + a2 [ ] － 0. 01 · 0. 1 0 [ ] 0 － 0. 1 ， ΔB = 0. 01 0 [ ] 0 0. 01 · 0. 1sin( 0. 1kπ) + a3 0. 3a1 [ ] － 0. 2a2 0. 4cos( 0. 5kπ) + a4 0 [ ] 0. 1 ． | ai | ≤0. 5 ( i = 1，2，3，4) 为不确定参数． 干扰取为 w( k) = sin( 0. 01πk) k + 0. 5 ，显然 w( k) ∈L2［0，∞ ) ． 与系统( 1) 对比，有 E1 = － 0. 01 0 [ ] 0 0. 02 ， Σ1 = 0. 1a3 0. 2cos( 0. 3kπ) + a1 0. 3sin( 0. 5kπ) + a2 [ ] － 0. 01 ， H1 = 0. 1 0 [ ] 0 － 0. 1 ，E2 = 0. 01 0 [ ] 0 0. 01 ， Σ2 = 0. 1sin( 0. 1kπ) + a3 0. 3a1 [ ] － 0. 2a2 0. 4cos( 0. 5kπ) + a4 ， H2 = 0 [ ] 0. 1 ． 验证知 Σ1 和 Σ2 对任何 k 满足不等式( 3) ． 通过对误差的调整，我们取权重矩阵为 Qe = 5、 Qv = 1. 0和 H = 10． 我们分别对预见步数 MＲ = 2、MＲ = 5 和没有预见三种情况，针对不同的目标值信号进行 仿真． 选 取 γ = 5，应 用 MATLAB 的 LMI 工 具 箱 可 求得: 当预见步数 MＲ = 2 时，求得 ·1383·
·1384· 工程科学学报，第37卷，第10期 K=0.138071396749604-0.839658714259596-0.877590207138855-0.0000000020457620.2406405665680650.1505419606581970.138071411412943 于是 k.=0.138071396749604,k,=[-0.839658714259596-0.877590207138855], k.=[-0.0000000020457620.2406405665680650.150541960658197],k,=0.138071411412943. 当预见步数M.=5时，求得 K=k。kkRk,]∈R°，k.=0.138071395343584, k,=[-0.839658797347035-0.877590157739193], k.=[-0.0000000002228390.2406405122858950.1505419260769230.0832439113101230.0407098318366410.016800284722354], k,=0.138071393175066. 没有预见信号时，采用文献25]的方法求得 K=k。kxk]= 0.137236278602884-0.834897653258604-0.8733249405484020.137236276405077]. r01 初始条件取为x(O)-[0]和v(0)=0.为了体现不确 定性，我们把不确定参数：（i=1,2,3,4)取绝对值不 超过0.5的随机数 M.-2 (1)目标值信号为阶跃信号 M=5 r()=八，k≥20： M。=0 (38) 0.5 0,k<20. 图1给出了系统(37)闭环系统的输出响应，图2 是跟踪误差，图3是控制输入.可以看出在预见步数 M.=2、M.=5和没有预见三种情况下，输出信号都能 20 40 60 80 准确地跟踪目标信号.预见作用的存在可以使得跟踪 图2系统对阶跃信号的跟踪误差 误差减小，并且能加快输出跟踪目标值信号的速度. Fig.2 Tracking error of the system to step signal 1.0 02 u,M.=2 0.8 y,M.=2 -h.M.=5 ---uM.=0 ----yMn=5 0.1 0.6 -y.M=0 0.4 0.2 -0.1 -0.2 20 40 60 80 20 40 60 80 图1系统对阶跃信号的输出响应 Fig.1 Output response to step signal 图3系统对阶跃信号的控制输入 Fig.3 Input of the system to step signal (2)目标值信号为斜坡信号 0, k≤10： 图7给出当没有预见作用时闭环系统H。最优保 r()=0.05(k-10),10<k<50: (39) 性能指标值和y间的关系.该图表明H,最优保性能 k≥50. 指标值上界随着y的增加而减小，可见H,最优保性能 图4~图6分别是针对斜坡信号（式(39）)，闭环 指标值上界与系统抗外部干扰能力相互制约.文 系统的输出响应、跟踪误差及控制输入.在预见步数 献26]也得到类似的结果. M.=2、M.=5和没有预见三种情况下，输出信号都能 需要注意的是，文献4]指出随着预见步数的增 准确地跟踪目标值信号.同样地，随着目标值预见步 加，性能指标值会随之减小，越远的未来信号对性能指 长的增加，跟踪误差和输入峰值在减小，而且闭环系统 标值的影响是越小的.从图1~图6以明显看出目标 的输出能更快跟踪目标值信号. 值预见在不确定系统控制中的作用，带有预见作用的
工程科学学报，第 37 卷，第 10 期 K =［0. 138071396749604 － 0. 839658714259596 － 0. 877590207138855 － 0. 000000002045762 0. 240640566568065 0. 150541960658197 0. 138071411412943］． 于是 ke = 0. 138071396749604，kx =［－ 0. 839658714259596 － 0. 877590207138855］， kＲ =［－ 0. 000000002045762 0. 240640566568065 0. 150541960658197］，kv = 0. 138071411412943． 当预见步数 MＲ = 5 时，求得 K =［ke kx kＲ kv］∈Ｒ10 ，ke = 0. 138071395343584， kx =［－ 0. 839658797347035 － 0. 877590157739193］， kＲ =［－ 0. 000000000222839 0. 240640512285895 0. 150541926076923 0. 083243911310123 0. 040709831836641 0. 016800284722354］， kv = 0. 138071393175066． 没有预见信号时，采用文献［25］的方法求得 K =［ke kx kv］= ［0. 137236278602884 － 0. 834897653258604 － 0. 873324940548402 0. 137236276405077］． 初始条件取为 x( 0) = [ ] 0 0 和 v( 0) = 0． 为了体现不确 定性，我们把不确定参数 ai ( i = 1，2，3，4) 取绝对值不 超过 0. 5 的随机数． ( 1) 目标值信号为阶跃信号 r( k) = 1， k≥20; {0， k ＜ 20． ( 38) 图 1 给出了系统( 37) 闭环系统的输出响应，图 2 是跟踪误差，图 3 是控制输入． 可以看出在预见步数 MＲ = 2、MＲ = 5 和没有预见三种情况下，输出信号都能 准确地跟踪目标信号． 预见作用的存在可以使得跟踪 误差减小，并且能加快输出跟踪目标值信号的速度． 图 1 系统对阶跃信号的输出响应 Fig． 1 Output response to step signal ( 2) 目标值信号为斜坡信号 r( k) = 0， k≤10; 0. 05( k － 10) ， 10 ＜ k ＜ 50; 2． k≥50 { ． ( 39) 图 4 ～ 图 6 分别是针对斜坡信号( 式( 39) ) ，闭环 系统的输出响应、跟踪误差及控制输入． 在预见步数 MＲ = 2、MＲ = 5 和没有预见三种情况下，输出信号都能 准确地跟踪目标值信号． 同样地，随着目标值预见步 长的增加，跟踪误差和输入峰值在减小，而且闭环系统 的输出能更快跟踪目标值信号． 图 2 系统对阶跃信号的跟踪误差 Fig． 2 Tracking error of the system to step signal 图 3 系统对阶跃信号的控制输入 Fig． 3 Input of the system to step signal 图 7 给出当没有预见作用时闭环系统 H∞ 最优保 性能指标值和 γ 间的关系． 该图表明 H∞ 最优保性能 指标值上界随着 γ 的增加而减小，可见 H∞ 最优保性能 指标值上界 与 系 统 抗 外 部 干 扰 能 力 相 互 制 约． 文 献［26］也得到类似的结果． 需要注意的是，文献［4］指出随着预见步数的增 加，性能指标值会随之减小，越远的未来信号对性能指 标值的影响是越小的． 从图 1 ～ 图 6 以明显看出目标 值预见在不确定系统控制中的作用，带有预见作用的 ·1384·
李丽等：具有跟踪鲁棒性能的H_最优预见控制 ·1385· 2.0 54 52 1.5 1.0 0.5 -yM=2 yM。=5 ---yM。=0 44 20 40 60 80 图4系统对斜坡信号的输出响应 图7H,性能指标值上界与y间的关系 Fig.4 Output response to ramp signal Fig.7 Relationship between the value of the H performance index and y 0.05 使得扩大误差系统变得简单，因此易于处理.从本文 论证中同时看出，采用本文中推广的不等式（即引理 -0.05 3),可以减少对F,U的限制，从而利于此不等式在估 -0.10 计Lyapunov函数的差分和导数时就可得到具有较小 保守性的结果，因此推广了此类不确定系统研究中已 -0.15 -M=2 M=5 经得到的结论.并且，本文利用LM理论来研究鲁棒 0.20 --M2=0 预见控制问题的方法完全可以推广到其他定常的或时 40 60 变的线性系统的预见控制问题中去.数值仿真表明， 本文引入积分器是非常必要的.如果不引入积分器， 图5系统对斜坡信号的跟踪误差 则闭环系统的输出对目标值信号的跟踪有可能出现静 Fig.5 Tracking error of the system to ramp signal 态误差.最后的仿真实例说明本文控制器的有效性. u.M=2 参考文献 ----uM=0 -0.1 [Xie WQ,Ni X Y,Zang H Y.Roust stability control for discrete- time uncertain systems.Electr Mach Control,1999,3(1):32 -0.2 (谢文翘，倪筱颖，臧红艳.离散时间不确定系统的鲁棒稳定 控制.电机与控制学报，1999,3(1)：32) -0.3 Zhang L,Liao F C,Liu H P.Robust H control for uncertain discrete-time systems with-delay.J Unir Sci Technol Beijing, -0.4 2008,30(3):324 (张蕾，廖福成，刘贺平.不确定离散时滞系统的鲁棒H控 0 20 40 60 80 制.北京科技大学学报，2008,30(3)：324) B Nguyen H N,Gutman PO,Olaru S,et al.Implicit improved ver- 图6系统对斜坡信号的控制输入 tex control for uncertain,time-varying linear discrete-ime systems Fig.6 Control input of the system to ramp signal with state and control constraints.Automatica,2013,49 (9): 控制器能使得输出提前且快速跟踪目标信号，而且当 2754 M。=2时预见效果已经很明显.另外，本文使用改进 4]Tsuchiya T,Egami T.Digital Preview and Predictive Control. Beijing:Beijing Science and Technology Press,1994 后的不等式，对U,F的限制减小，因而可以得到具有 (土谷武士，江上正.最新自动控制技术数字预见控制.北 较小保守性的结果 京：北京科学技术出版社，1994) [5]Katayama T,Ohki T,Inoue T,et al.Design of an optimal con- 5结论 troller for a discrete-time system subject to previewable demand. nt J Control,1985.41(3):677 采用本文的方法构造扩大误差系统，可以避免误 6]Katayama T.HironoT.Design of an optimal servomechanism with 差系统中包含时变或不确定系数的差分的困难，从而 preview action and its dual problem.Int J Control,1987,45(2):
李 丽等: 具有跟踪鲁棒性能的 H∞ 最优预见控制 图 4 系统对斜坡信号的输出响应 Fig． 4 Output response to ramp signal 图 5 系统对斜坡信号的跟踪误差 Fig． 5 Tracking error of the system to ramp signal 图 6 系统对斜坡信号的控制输入 Fig． 6 Control input of the system to ramp signal 控制器能使得输出提前且快速跟踪目标信号，而且当 MＲ = 2 时预见效果已经很明显． 另外，本文使用改进 后的不等式，对 U，F 的限制减小，因而可以得到具有 较小保守性的结果． 5 结论 采用本文的方法构造扩大误差系统，可以避免误 差系统中包含时变或不确定系数的差分的困难，从而 图 7 H∞ 性能指标值上界与 γ 间的关系 Fig． 7 Ｒelationship between the value of the H∞ performance index and γ 使得扩大误差系统变得简单，因此易于处理． 从本文 论证中同时看出，采用本文中推广的不等式( 即引理 3) ，可以减少对 F，U 的限制，从而利于此不等式在估 计 Lyapunov 函数的差分和导数时就可得到具有较小 保守性的结果，因此推广了此类不确定系统研究中已 经得到的结论． 并且，本文利用 LMI 理论来研究鲁棒 预见控制问题的方法完全可以推广到其他定常的或时 变的线性系统的预见控制问题中去． 数值仿真表明， 本文引入积分器是非常必要的． 如果不引入积分器， 则闭环系统的输出对目标值信号的跟踪有可能出现静 态误差． 最后的仿真实例说明本文控制器的有效性． 参 考 文 献 ［1］ Xie W Q，Ni X Y，Zang H Y． Ｒoust stability control for discretetime uncertain systems． Electr Mach Control，1999，3( 1) : 32 ( 谢文翘，倪筱颖，臧红艳． 离散时间不确定系统的鲁棒稳定 控制． 电机与控制学报，1999，3( 1) : 32) ［2］ Zhang L，Liao F C，Liu H P． Ｒobust H∞ control for uncertain discrete-time systems with-delay． J Univ Sci Technol Beijing， 2008，30( 3) : 324 ( 张蕾，廖福成，刘贺平． 不确定离散时滞系统的鲁棒 H∞ 控 制． 北京科技大学学报，2008，30( 3) : 324) ［3］ Nguyen H N，Gutman P O，Olaru S，et al． Implicit improved vertex control for uncertain，time-varying linear discrete-time systems with state and control constraints． Automatica，2013，49 ( 9 ) : 2754 ［4］ Tsuchiya T，Egami T． Digital Preview and Predictive Control． Beijing: Beijing Science and Technology Press，1994 ( 土谷武士，江上正． 最新自动控制技术-数字预见控制． 北 京: 北京科学技术出版社，1994) ［5］ Katayama T，Ohki T，Inoue T，et al． Design of an optimal controller for a discrete-time system subject to previewable demand． Int J Control，1985，41( 3) : 677 ［6］ Katayama T，Hirono T． Design of an optimal servomechanism with preview action and its dual problem． Int J Control，1987，45( 2) : ·1385·
