D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1987.03.039 北京钢铁学院学报 J.Beijing Univ,of Iron Steel Technol. Vo1.9No.31987 正二十面体正五角十二面体的几何 》 参数及其在准晶格中的应用 闵乐泉 (数学第二教研室) 摘 要 本文推导出正二十面体和正五角十二面体的几何参数，探讨了平面理想准晶 格模型〔1)〔2)的两种空间结构，得到了一种以五角十二面体为特征的平面格子，利 用所得到的几何参数，也可对以上两种多面体为基本单位的其它空间结构进行研 究. 关键词：正二十面体，正五角十二面体，几何参数，三维准晶格，坐标变换， Geometrical Parameters to Icosahedron,Ortho- pentagonal Dodecahedron and Their Applications in Quasicrystal Lattices Min Lequan Abstract In this paper the geometrical parameters to icosahedron and orthopen- tagnal dodecahedron are obtained.Two kinds of 3-dimension quasicrystal lattices are discussed.A new kind of lattices with the characters of or- thopentaqnal dodecahedron is given.By the geometrical parameters,other kinds of 3-dimension quasicrystal will be dealt with. key words.Icosahedron,orthopentagonal dodecahedron,geometrical 1986一10-20收积 136
北 京 钢 铁 学 院 学 报 。 。 正二十面体正五角十二面体的儿何 参数及其在准晶格中的应用 脚 阂 乐 泉 数学第二 教研室 》 ，嗯 摘 要 本文推导 出正二十面体和正五角十二面体的几何参数 ， 探讨了平面理想准晶 格模型〔 〕 〔 〕的两 种空间结构 ，得到了一种以五角 二面 体为特征的平面格子 ，利 用所得到的几何参数 ， 也可对以 上两 种多面体为基本单位的其它空 间结构进行研 究 咬 关键词 正二 面体 ， 正五角 二面体 ， 几何参数 ， 三维准晶格 ， 坐标变换 。 ， 一 迎 电 、 一 · 只 ， 一 ， ， 一 一 收稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1987．03．039
parameters,3-dimension quasicrystal lattices,coordinate trans- formation. 1正二十面体的几何参数 设某二十面体的十二个顶点内接于半径为P的球面上，其球心选为坐标原点O,Z 轴通过顶点C、，C如图1（该图画的是正二十面体，下面的分析并未要求必为正二十 面体)，在上半球和下半球分别均布着顶点C:,C3、C5、C7、C和C2、C4、C6、C8、 C10。过原点O与Z轴垂直作X一Y平面，取X轴使得C:在X一Y平面的投影恰在正X轴 上。用球坐标来表示空间中点(X,Y,Z): X=psinφcos0,y=psinφsinf,Z=pcosΦ (1.1) 由图1和(1.1)立得： C=(0,0,p),C=(0,0,-p)(1.2) C:=p(sin中cos元i-1) 5 sinosin-1),pcos中) 5 i=1,3,5,7,9 (1.3) C:=p(sin中cosπ(i-1) 5 tb) sin4sin(i-1）,-pcos中)， 5 i=2,4,6,8,10 ·(1.4) 从而可知对于i=1,3,5,7,9有 1=|C-C:|=p√2(1-cosφ)(1.5) 和1=1'=C-Ci,i=2,4,6,8,10(1.6 图1(a)二十而体(b)二十而体的坐标系 另一方面从(1.2)至(1.4)知'· Fig.1(a)Icosahedron (b)coordinate system for icosahedron 11=ICi-Ci.:=2 psinosin/5, 1=1,3,5,7 (1.7) 11=1'=1C1-C:+|,1=2,4,6,8 (1.8) 12=lC:-C1+,=pV2sin2Φ(1-Cosπ/5)+4cos2φ， i=1,3,5,7,9 (1.9) 137
， 一 ， 刀 二 正 二 十面体的几何 参数 设 某二 十面 体的十二 个 顶点 内接 于半径为 的球面 上 ， 其球心 选 为坐标原点 ， 轴 通过 顶点 、 ， 己如 图 该 图画 的是 正二 十面 体 ， 下面 的分析并未 要求 必为正二 十 面体 ， 在上半球 和下半球分别均布着顶点 、 。 、 。 、 、 。 和 、 ‘ 、 、 、 ，。 。 过 原点 与 轴垂直作 一 平面 ， 取 轴 使得 ，在 一 平面 的投影恰 在 正 轴 上 。 用球 坐标 来表示 空 间中点 ， ， 中 。 ， ’ 小 。 ， 小 一 由图 和 立 得 ， ， ， ， ， 一 小 兀 一 小 兀 一 ， 小 ， ， ， ， 。 小 兀 一 小 兀 一 一 小 ， ， ， ， 。 从而可知 对于 ， ， ， ， 有 一 、 侧 一 小 即‘ 和 ， 一 ， 二 ， ， ， ， 另一方面从 至 知 ’ 。 图 二 而 休 二 面体的坐标系 一、 ， ， 一 、 ， ， ， ， 小 二 ， 。 ，尹 ， 一 ， ， 。 一 ， 侧 小 一 二 “ 小 ’ ， ，
若该二十面体顶点连线形成的三角形是等腰的，则应有1=12，由（1.5)、(1.9) 解出 pW2(1-cosΦ)=pV√2sin2φ(1-cosπ/5)+4cos2Φ 整理后得到（舍去无意义的负值） c0s中=-1±V1+4c0s(/5)(1+c0s/5)=1 (1.10) 2(1+cos/5) 5 因为c0sm/5=(√5+1)/4(3)，再因 siab=号 sig=√5-v (1.11) ,故从(1.11)、(1.10)、(1.7)、(1.5)推出 l=2Pw√/6-Y5, 1=PW2(1-1) (1.12) 10 5 可见11=1=12，从而得到下面的 命题1设I是一个内接于半径为P的球面的二十面体，若其十二个顶点坐标满 足公式(1.2)、（1,3)、(1.4)，则I的每个面是等边的相同三角形（从而I为正 二十面体)当且仅当每个面是等腰的相同三角形，且有 中=arccos55 1 1=P 10-2/5 (1.13) a) 2正五角十二面体的几何参数 色 设某正五角十二面体的二十个顶点内接于半径 为P的球面上。与前节相仿选取坐标轴X,Y,Z如 图2(a)、（b)所示，用球坐标(1.1)将各顶 点表为 Cl4=p(sin中1cos2m(i-1）, b) 5 sin中1sin2x(i-1）,co5中1)， p 5 i=1、2、8、4、5 (2.1) C2:=p(sin中cos_2mi-1）, 5 图2(a)正五角十二面体 sin中2sin2r(i-1）,c0s中2)， (b)正五角十二面体心坐标系 5 Fig.2(a)Orthopentagonal dodecahedron i=1,2,8,4,5 (2.2) (b)Coordinate syatem for it. 138
若该二 十面 体顶点连线形成的三角形是 等腰 的 ， 则应有 ， 由 、 解 出 侧 一 小 侧 “ 小 一 二 “ 小 整理后 得到 舍去无意义 的负值 小 一 士 了 二 二 二 与 二 一 ， 气 。 夕 斌 因为 二 侧百 ‘ ， 再 因 小 一』二 、 。 一里一 亏下万了 一 甘 占 舀 舀 二 ， 一 了 ’ ， 。 · ， 故从 、 、 、 推 出 ， 。 店二 万一 几 二 “ 尸 － 了石万了二二二 ， 了 。 可 见 ， 从而得到 下面 的 命题 设 是 一个 内接于半径 为 的球面 的二 十面 体 ， 若其十二 个顶点坐标满 足 公式 、 、 ， 则 工的每 个面是等边 的相 同三角形 从而 为正 二 十面体 当且 仅当每个面是 等腰的相 同三角形 ， 且有 小 。 。 训 ，万 ’ ‘ 了 二岑互 。 正 五 角 二面 体 的几何参数 呼 设某正五 角十二面体 的二 十个 顶点内接于半径 为 的球面 上 。 与前 节相仿选取坐标轴 ， ， 如 图 、 所示 ， 用球 坐标 将各 顶 点表为 叮众了丫丫护 竺淤落嘟 、 侧以 右 。 全 毛冬二二 才 ’ 小 北 一 小 兀 一 小 ， 、 、 、 、 。 二 小 兀 一 小 小 兀 一 ， ， 小 ， 图 “ 正五角 二面体 正五角十二面体心坐标系 ，一 夕 ” “
Cg=p(sin中acosπ(2i-1）,sin中25inr(2i-1,-cos中2)， 5 5 i=1,2,3,4,5 (2.3) C=p(sin中：cosr(2i-1）,sin中1sinr（2i-1）,-cos中1)， 5 5 i=1,2,3,4,5 (2.4) 从而可知 1=lC1-C=psin0√5-5，i=1,2,8,4, (2.5) 2 1'=|C4:-C4i+t1=1 (2,5) 1,=1C1:-C21|=pW/2(1-sinφ1sinφ2-cosφ1cosφ2)， i=1,2,3,4,5 (2.6) 1'1=|C3:-C4:|=1 ·i=1,2,8,4,5 (2.7) 1:=C5:-C3=8p√sin4:sia0+c00:, i=1,2,8,4,5 (2.8) 由正五角十二面体的定义知应有· |C:-C1:+:|2=1C2:-C31l2 (2.9) 将(2.9)整理后得到 sin2Φsin2（r/5)+sin2φ2c0s2(/10),=1, (2.10) 另一方面还应有 |C11-Cit:|2=|C1:二C2:|2 (2.11) 将上式整理后得到 2sin2中，sin2(π/5)+sin中sin2中。+cos中1cos2φ2=1 (2.12) 令 k=sin中i/sinφz (2.13) 用i。分别乘以(2.10)、(2,12)后得到 k2sin2(r/5.)+cos2(π/10)=1/sin2φ2， (2.10)' 1-k2 2 sind=(/5)k2+k+sin22 N sin21=1 1 ,sin中2 （2.12) 139
兮 小 究 一 一 二 ， 小 兀 一 一 小 ， ， ， ， 。 卜 小 兀 一 一 ， 小 究 一 一 小 ， ， ， ， 。 从而 可知 ’ 、 一 ‘ 、 ， 、 ‘ 一 ， ， ‘ 一 “ ， 小 扩 一 训 一 ， ， ， ， 。 ‘ 召 它 一 小 ， 小 一 小 ， 小 ， ， ， ， ‘ 一 二 ， 二 二 ， ， ， ， ， 一 、， 斌 ‘ ‘ 命 尸 ·。 ‘ ， ， ， ， ， 由正五 角十二面体 的定义知 应有 ‘ 一 ‘ 十 “ “ 一 “ 将 。 整理后 得到 。 “ 小 “ “ 小 二 二 另一方面 还应有 ‘ 将上式整理后得到 一 ‘ 汁 “ 二 ‘ 一 “ “ 。 “ 小 “ 二 小 小 小 ， 中 。 令 小 小 。 用 名小 分别乘以 飞 、 ， 后得到 “ “ 二 “ 二 二 “ 小 二 尹 ， ， ， ， 、 ， 。 ， ， ， 艺 甲 一 、 匕 少 一 十 十 ‘ 一一 一 了 一一 一 一 ▲ 一，了 不布一一 一 ， 一 甲 ‘ 一 甲 小
将（2.10)′代人(2.12)'，整理后有 sin(π/5)k4+2sin2(π/5)k3+〔-4sin.2(元/5)cos2(π/10) +cos2(π/10)+sin2r/5)〕k2-2cos2(π/10)k+cos3(π/10)=0 因c0sπ/10=， 5+√58故上式可化为 8 20k4+40k3-2(5+V√5)k+(5+√V6)2=0 (2.14) 易知(2.14)的一个根为 k=V5-1 (2.15) 2 另外三个根是 k:=√A+B+√A-B-5+8, 3 6 k:=0:√A+B+o:/A-B-Y5+8, 3/ 6 k=o:√A+B+o:3/A-B-5。+9, 3/ 其中 A=(145+1), 27 B=4+1-(÷ 27 01=-1+-3, 02=-1-V-8 9 2 可见k2,k3为复根，而k1>1.1,故均不合题意。将（2.15)代入（2.10)'、(2,13) 后解出 sin中2=.W 10+2V5 (2.16) 15 sin中1=N 10-2V6 (2.17) 15 从（2.5)、(2.17)解出正五角十二面体的棱长1为 1=P 0√=p() (2.18) 15 2 综上所述得到下面的 命题2 一个内接于半径为的球面的正五角十二面体的几何参数为 sia中：-√10-是五，si:=/o+2y互，1=（压gvs） 15 15 140
将 ‘ 代人 ‘ ， 整理后有 “ 二 ‘ “ 二 〔 一 弃 二 “ 二 “ 二 〕 “ 一 “ 二 “ 二 二 因 二 了工三亚宜二 〔 ’故上式可 化为 、、 少 、 产、矛，， 山占孟，土八勺尸厅怡八‘ … 一 斌 百 “ 导 召万 易知 的一个根为 二 匕至卫 、 二 仓 另外三个根是 － － “ ‘ ” 矿 十 丫 一 侧 么 。 ， 丫石百 。 丫不百 二 。 斌厂万 十 。 ， 扩不万 召 亿 ’ 其 中 已丛宜互二 ， 。 一二上上匕二宜一 ” 武 亿 十 刃 一 ‘ 、－ 一 一 认 一 可 见 ， 为 复根 ， 而 ， ， 故均不 合题意 。 将 代 入 后解出 中 丫 记 。 ， ‘ ， 互巫二巫万 从 、 解 出正五 角十二面 体 的棱长 为 了 一四二鱼 互 ‘ 泣二宜亘 。 里卫止舀 、 ， ， ’ 、 。 综 上所 述得到 下面 的 命题 一个 内接于半径为 的球面 的正五角十二面体的几 何参数为 ‘ ‘ 一 了 一丝二竺匕旦 ， ， 小 了亚三亚宜 一 口吐、 了巧 一 侧
3 在准晶格中的应用 图3是作者们在〔1〕（详见〔2）)提出的一种理想准晶格的平面投影图，下面 先对其空间结构进行探讨。 设图3中正十边形内接圆的半径为a,则边长为b=Y5-1a,而在任意L: 2 (L:),i=0,±1，±2，…轴上，每两个相分离的十边形距离为b,1).(2而每两个 相叠的十边形前面十边形之心距后面十边形的距离仍为b(1)〔2)。 今设L(L),i=0,±1，士2…轴上的十边形均是圆心在L:(L1)轴上的 的正二十面体在平面上的投影。下面求出任何L:(L:)轴上两个相邻的正二十面体各 顶点之间的距离。 设C是L:轴上的第n个正二十面体。记C:,为C之中心，C的12个顶点分别记为 C,1j=1,2,10,C,,C,1。它们与图1中正二十面体的各顶点按下方式对 应 C,j=Ci,j=1,2,10,C,=C,C,1=C (3.1) 由相似性，只需对L0轴上的正二十面体进行考察即可。 (i)若C:是分离的正二十面体，则C,1与C;在X一Y平面的投影距离为b(见 图3)。由(1.3)知 .c 图3一种理短准品格 图4一种以正五角十二面体为特征的平面格子 Fig.3 A kind of ideal quasicrystal lattices Fig.4 A kind of 2-dimension Lattices with the characters of orth opentagonal dodeoabedron d=1c-c1=√/(2-1a +(2pcos中)2 (3.2) 2 但(1.13)知 p=a/sinφ=V5a/2÷1.118a (3.3) 将(3.3)代入(3.2) d,=a√5-√5-1.176a (3.4) 141
在准 晶格 中的应用 图 是 作者们在 〔 〕 详见 〔 〕 提 出的一种理想准 晶格的平面投影图 ， 下面 先对其空 间结构进行 探讨 。 设 图 中正十边形 内接圆的半径为 ， 则边长 为 二 一 宜亘二工 一 。 ， 而 在任意 飞 ， 二 ， 士 ， 土 ， …轴上 ， 每两个 相分离的十边形距 离为 ， 〔 〕 〔 〕而 每 两 个 相叠的十边形前面 十边 形之心 距后面 十边形 的距 离仍为 〔 ” 〔 〕 。 今设 飞 ， 二 ， 土 ， 士 ，’ 轴 上 的十边 形 均是 圆心 在 飞 轴 上 的 的正二 十面体在平面 上的投影 。 下面求 出任何 飞 轴 上两个相邻 的正二 十面 体 各 顶点之 间的距 离 。 厂 设 兮是 轴上的第 个正二 十面 体 。 记 全 ， 。 为 兮之 中心 ， 兮的 个顶点分 别 记 为 全 ， ’ ， ” ， 兮 ， 。 ， 兮 ， 、 。 它们与 图 中正二 十面体的各顶点按下方 式 对 应 了 ， ， ， ， … ， ， 全 ， ， 兮 ， 由相 似性 ， 只需对 。 轴 上 的正二 十面体进行考察即可 。 若 含是 分 离 的正二 十面体 ， 则 公 ， ， 与 公 孟在 一 平面的投影距 离为 见 图 。 由 。 知 … 勺二 几 ’ ’ 亡产， ‘歌 ’ 、 ’ 「 … 可， ’ 二 ’ ’ 犷’ ’ ‘ 几 ’ ， ’ 、 · ‘ ’ ’ “ 七 “ ‘ · 户 几 图 一种理想准晶格 一 图 一种以正五角十二面体为特征的平面格子 一 一飞一 。 ， 二 公 ， 一 公 ‘洲匕三三 ， 、 · “ ‘ “ ‘ ’ 但 。 知 小 侧百 将 。 代 入 。 二 ， · 丫 一 亿
另外从(1.13)得C8上各相邻顶点之间的距离是 1=PN 10-2√5=a 5-√5=d1 (3.5) 5 2 而各顶点至中心的距离是 d0=|C8,1-C8,。{=|C8,。-C8,01=1C8,1-C8,01 =p=V5a=1.118a (3.6) 2 易知C8与C。1之间的最近距离是 d=|C86-C8|=a5-V5=d1 (3.7) (ii)若C:+1与C8+是一对相叠的正二十面体，则 1cs-c1=a+b=(心521）P (3.8) 故由(1.2)至(1.5)及（1.13)不难推出（这里假设被“M一L规则”(4）清除的点 Ct仍存在)： d=|C8-Cl=a√/5-√5=d, (2.9) 2 .d2=|C8-C8t者|=|C8-C8书I =（V5-1)a÷0.6184, (3.10) 2 d:=1C8-C8t|=|C8t者-C8。|=d2, (3.11) =(521V2a0.7a (3.12) d=1c*-C1=(W7-2万）=0.795a, (3.13) d=【C-C8t1=dg,d=lC8t-C8t|÷d, (3.14) d5=】C8t-C8若|=√02+02+a2=a (3.15) d5=|C8。-C|=ds (3.16) 另一方面从〔1)（详见〔2）)中定理1至3的证明知L0与L-、L+:轴上的相 邻正二十面体的距离在X一Y平面的投影均为b。注意到圆心之距离为2a+b和相邻结 点的标号奇偶性互异这一事实后（可参图8），从（3一4)立得它们在空间的距离是 142
另外从 得 公上各相邻 顶点之 间的距 离是 卜 。了〔亘亚应夏 二 。 了三二亘更 、 ， ’ 艺 而 各 顶点至 中心 的距 离是 。 二 公 ， 一 公 ， 。 公 ， 。 一 公 ， 。 】 】 公 ， 一 公 ， 。 、户声， 止 污匕八了 坦 易知 琶与 忿一 ’ 之 间的最近距 离是 。 ， 。 一 一 卜 · 了…票弃…山 若 犷 ‘ 与 犷 是 一 对相叠的正二 十面体 ， 则 二 一 。、 ， 十 匕 兰 。 故 由 至 及 不 难推 出 这 里假设被 “ 一 规则 ” 川 清除 的 点 公份仍存在 ， 。。 一 。。 ， 二 、 二三二… 二 ， ” 。 ， 二 忿九 ‘ 一 公份 二 号九 ‘ 一 公扮 二 卫玉二兰 。 、 飞二 公份 一 忿九 ， 公九 一 号九、 二 ， 一 忿女 斌 了 一 江叹二 一 一 一 、 昌 记 一 二 。 一 。 。 ， ， 。 一 、 一 弓 ‘ “ 一 一 ， 性 ， 、 。 二 屯 。 飞 忿九 ‘ 一 九 ， 忿专 一 忿九 ‘ 忿九 ‘ 一 忿份 厂八刃认无 一 、一里一 一 。 ， ‘ 一 艺 犷 ，一一下万一 一 一 一 ‘ 口 。 “ ， 材 ’ 目 ’ “ ， 卜 忿努 一 号九 ‘ “ 幻 二 了 “ ， ‘ 二 。 忿九 ，。 一 号夕 另一方面从 〔 〕 详 见 〔 〕 中定理 至 的证 明知 。 与 一 ， 、 。 。 。 十 轴 上的相 邻 正二 十面体的距 离在 一 平面 的投影均为 。 注意到 圆心 之 距 离为 和 相邻结 点的标号奇偶性互 异这 一事实后 可参 图 ， 从 一 立得它们在空间的距离是
d=di=a- 5-√5 (3.17) 2 综上所述在Li轴（或L轴），1=0，±1，±2，…形成的“层”上各正二十面 体结点之间的距离有6种 d0=5a=1.l8a,d=-g5a=1.176a,d=(心61）h0.618a 2 2 d,-(521Va=0.874a,d-(W7-2v7万)g=0.795,d=8 (3.18) 至于L,j=0,±1，±2，…与L,j=0,±1，±2，…“层”之间的距 离是多少，需要更清晰的高分辨图才易确定。但 1)若假设L;与L是在同一平面上，则可证明只有当C+1与C+是一对相叠的 L;轴上的二十面体时，L上的二十面体C+才与C+1产生与(3.18)不同的距离，其 中最小的距离是 dmin=1c#-C按1=1c9。-C:1=(8gY⑤=0.38196a (3.19) 2)若假设L;“层”比L“层”高(V5+1)a。则可知这时 2 1c*-c1=(51=d: |C'-C|=a=d5 d=1cw-c1=√C(1-a'+(9- =V5-2V5a÷0.72654a (3.20) 而其余顶点间的距离还有（在X一Y平面上相重合且“奇偶互异”的那些顶点） 1c张-C1=1C-c*1=1C-c*1-(Y5）a=d, 对于C,。是L轴上的完整的分离正二十面体的情形，也有类似的结论，因此在本 假设下，三维准晶格结点之间的距离只有7种（见（3.18）、，(3.20))，而晶格的 也可达6种。所以2)的假设似为合理的。 最后来讨论一个纯数学的结果：一种以正五角十二面体为特征的平面格子。首先按 图2的坐标所示，.正五角十二面体在X一Y平面的投影是两个同心的点状环。其大环半 径为（见(2,16）)a=pin中2=√10+2√5p,而小环半径是（见(2.17）) 15 143
二 “ · 了 一 召 。 综 上所述在 轴 或 ，轴 体 结点之 间的 距 离 有 种 ‘ 二 ， 士 ， 士 ， 一 形成 的 “ 层 ” 上 各 正二 十面 。 匕呈 几了、 ， 、产 夕 ， 扩宜三王 。 ， 忿 ’ 、 匕二 。 。 。 ， 一 “ 一 · 土 “ 闷 侧 一 、 ， 二 ， 、 乍 “ “ 一 一 甲万一一 乙 士 吕丫 ， 气材 一 侧 一东一一 亡 丫 ， 曰 、 ’ ‘ 至 于 ， ， 士 ， 士 ， … 与 ， ， 士 ， 士 ， “ · “ 层 ” 之 间 的 距 ‘ 离是 多少 ， 需 要更清晰 的高分辨 图才易确定 。 但 若假设 与 飞是 在 同一平 面上 ， 则可证 明只 有当 兮十 ‘ 与 犷 ’ 是 一 对相叠 的 轴 上 的二 十面 体时 ， 毛上 的二 十面体 飞 “ 十 才与 兮十 ‘ 产 生 与 不 同的距离 ， 其 中最小 的距离是 兮大 ‘ 一 ‘ 兮九 ， 二 】 兮火 。 一 ‘ 兮产夏 一 记 · ‘ ” 若假设 ， “ 层” 比 飞 “ 层” 高 一宜…旦土 。 则可知这时 ‘ 了扮 一 兮大 ， ‘ 了九 ， 一 兮六 ‘ 了 护 孚二 、 。 月 一 、 － ，“ 一 ‘ 二 。 ‘ 兮九 ‘ 一 兮六 护〔 训 竺 一 门 “ 十 一鱼竺 一 、 ’ 产 、 、 召 。 一 护万 。 而 其 余顶点间的距 离还 有 在 一 平面 上相重合 且 “ 奇偶互 异 ” 的那些 顶点 ’ 专 一 决 二 产 份 一 份 片 一 训 … 匕 一 二生 、 。 、 对于 兮 ， 。 是 琴 轴 上 的完 整 的分 离正二 十面 体的情形 ， 也有类似的结论 ， 因此 在 本 假设下 ， 三维准 晶格结点之间的距离只 有 种 见 、 、 声 ， 而 晶 格 的 也可达 种 。 所 以 的假设似为合理的 。 最后来讨论一 个纯数学 的结果 一种 以 正五 角十二面体为特征的平面格子 。 首先按 图 的坐标所 示 ， ‘ 正五 角十二面体在 一 平面 的投影是 两个 同心 的点状 环 。 其大 环半 径为 见 ， 、 祠 了亚三亚夏… ， 而 小 环半径是 见
b=psinφ，=y 10-2√5p。因此b/a=(√5-1)/2，恰为黄金中值，这恰是 15 图3中a,b两个距离的比值。而图3中每个正十边形内的三个结点距形心距离均为b, 因此补齐其余7个结点后就得到图4所示的一种非品格。 4坐标变换 在结晶学中，对于诸如正二十面体和正五角十二面体的等轴晶系，规定选互相垂 直的三个二次轴作其坐标系，下面推导本文的坐标系XYZ到上述坐标系XY'Z同之间 的坐标变换。 4.1正二十面体的坐标变换 由图1与1节各式知：若选取过C:Cg中点X1=(C:+C3)和C6C8中点X'2=女 (C6+C8)的二次轴为X'轴，则X'轴的直线方程为 X-(6+8）Y-8( 5+V5 2 Z-8 4 2 2 V5+3 5+V6 -a 8 故X'轴的方向余弦为 cosa := vB,cosa:cosa5-5 (4.1) 20 10 同理知取过CoC0之中点Y:=冬(C0+C0)与CC的中点Y=令Cs+名C: 2 的二次轴作Y'轴，则其直线方程是 X、 4V5 Y+a 5+V5+ 5-V5 8 8 a ,Z=0 2V6 a 5+V5+ 5-/5 8 8 易知Y'轴的方向余弦为 cosB:=- 5-√5，c0sB2÷√5+1，cosf,=0 (4.2) 8 4 再取Z轴为过CC中点Z1=令(C+C)与CC中点，乙：=合(C:+C)的二 次轴。则Z'轴的直线方程是 。 2 8 a(√5+1) a√56 2(V5+1) 4 8 144
。 。 扩 一 亿 。 因此 二 了 百 一 ， 恰为黄金 中值 ， 这恰 是 图 中 ， 两个距 离 的比值 。 而 图 中每个 正十边 形 内的三个结点距形心 距 离均为 ， 因此 补齐其余 个结点后就得到 图 所示 的一种非 晶格 。 坐标变换 在结 晶学 中 ， 对于诸如正二 十面体和正五 角十二面 体 的等轴 晶系 ， 规定选 互 相 垂 直 的三个二 次轴作 其坐标 系 ， 下面推导本文 的坐标 系 到 上述 坐标 系 产 产 尹 同之 间 的坐标 变换 。 正二 十面 体的 坐标变换 由图 与 节各式知 若选取过可雨书点 ， 告 十 和亡元 中点 ‘ 去 十 的二 次轴 为 产 轴 ， 则 轴 的直线方程为 、一了、户‘、产 诊 一 二 子竺二上色 亿 一 。 令‘ 斌一 斌 斌 一一色 一 一 故 产 轴 的方 向余弦 为 。 。 一扩瞬弃 ， 。 。 一十 ， 。 。 一了 一 了 。 同理如取过瓦己瓦之中点 卜 十 的二 次 轴作 产 轴 ， 则 其直 线方程是 。 。 与瓦不而中点 飞 一奈白 一言‘ 一竺一 ’ 。 上 ‘ 压三立夏 ‘ 三三立二…、 ， ， 一 一尽一 训 下一 艺 了玉三了更 了’ 三三豆 二 易 知 产 轴 的方 向余弦 为 一日 二 一 扩 一 只弃万 。 · ” 匕旦止生 ， 。 日 。 再取， 轴 为过 中点 二 次轴 。 则 ‘ 轴 的直线方程是 参‘ ，与瓦万中点 ， 理乡 十 己 的二 艺 一心一︸ 一 心 止生犷匕亘业 识 刹三弃 全 · 护二穿 二
从而Z'轴之方向余弦为 'r COsY1= 5+√5， /3-V5,c0sYg=- 5+vV5 40 8 10 (4.3) 由(4.1)、(4.2)、（4.3)知(X,Y,Z)与（X',Y',Z)坐标的关系 为： X cosa cosa2 cosa3 X Y/ cosB,cosfβ2 cosβ3 (4.4) 2 CosY:cosY2 COSYs 4.2 正五角十二面体的坐标变换 从图2及2，节各式：若选取过CC中点X=号(C:+C:)与CC中点 X:=】（C:+C:)的二次轴为X'轴。则其直线方程为 2 X-_P 10+2√5 5+2V/5 Y-_P 1 2 15 15 3 ,Z=0 10+2√/5+ 5+2V5 1 15 15 从而X'轴的方向余弦为 cosa1= 10-2√5+ 5+V5 cosa:=-v5-1,cosa=0 20 40 4 (4.5) 若取Y'轴为过CC中点r=士(C:+C:)和CC中点=号(Ci+C:)的： ● 次轴。则其直线方程是 X-_ 5-25+ 5-V5 15 30 5- 2V5_+ 5-V5 15 30 Z-P 5+2V5 5-2V/5 15 15 5+2V5.+ 5.-2W5, 15 15 易证Y'轴方向余弦为 cosB=- 25-11V√5+ 5-2V5), cosB:=5+1, 40 20 4 145
从而 产 轴 之方 向余弦 为 ， 研 十 侧 ， 了 一 侧 丫 一 了三三亘更 由 吐 、 、 知 ， ， 与 ， ， ， ， ， 坐 标 的 关 系 为 汀胜阵卫了，会 了 仪 日 以 日 丫 仪 日 。 、 廿，‘吐 ’，， 正五 角十 二 面 体的坐标变 换 从 图 及 节各式知 若选取过厄万乙 中点 ，二 令 与石蔺不卜点 白 “ 二 十 “ 十 “ ，的二 次轴 为， 轴 。 则其直 线方程 为 压 “ 、 一 一二－ 飞么 乙 、 孚 了 十 玉二宜亚夏、 一 工 ， 二互 呵 ， 一 丫 一 亿 丫 侧 厂丁 一一 一 尸 － ‘ 从 而 产 轴 的方 向余弦 为 。 一 丫亚藉弈夏 十 犷二需二 ， 一 兰黔 。 若取 产 轴 为过 鑫 象中点 飞 次轴 。 则 其直线方程是 ， 。 、 ， 只飞二二几 几 ‘ ， ‘ ， 户 。 ， 。 ‘ 、 ‘ 。 二 百 ， 咬七 己 七 芯 不仁与 豆协 三甲 息 二 一瓦， 、 勺 丫 与 三 夕 目沙一 ‘ 曲 一 自 一 李 斌鱼橇互 一 十 丫工需夏 一 · 母 六 · 丫二等二 一 扩 一 了 、 了三三立芝〔 少 侧 了 一 、 毛 交 十 研二主上匕互 一 上“ 二巫三万 ‘ 止里三二、 艺 ， ， 减丫立号并至 千丫 一 丫 易证 产 轴方 向余弦 为 。 。 日 ‘ 二 一 丫 一 亿 了 一卫二鱼匕至 ， 日 卫坦二