13 球函数 球坐标系(r,,)中 Helmholtz方程经分离变量为 (2R)+r2-1+1 包含了y,∥+1)与A三个分离变量常数,其中A为时空分离引进的分离变量常数 求解这些分离变量常数并确定相应的微分方程之解的过程,称为求解微分方程的本征值问题 如何求解?化三元函数的边值问题为单元函数的边值问题,再求分离变量常数应取何值,才存在满足边条的单元函数解 首先,Φ满足的方程最为简单,利用Φ的周期条件可确定本征值y及相应的本征函数。 d(小+ 或 接下来,就是利用θ满足的微分方程及边界(自然)条件确定本征值l+1) 对e满足的微分方程做变换:x=cOs6,yx)=刷,则e满足的微分方程 saem)+1+)-s=0 化为 ap-2++- 连带( associated) Legendre方程 本章讨论连带 Legendre方程的求解、解的性质、解的推广以及其在球坐标分离变量法中的应用。 以下一小段番 Mathematica代码将θ满足的微分方程(1.1)化为连带 Legendre方程13 球函数 球坐标系 (r, θ, ϕ) 中Helmholtz方程经分离变量为 ∇2w(r, θ, ϕ) + λ w(r, θ, ϕ) = 0 w(r,θ,ϕ)=R(r) Θ(θ) Φ(ϕ) Φ″ + γ Φ = 0 1 sin θ  θ (sin θ Θ′ ) + l(l + 1) - γ sin2 θ Θ = 0  r r2 R′  +λ r2 -l(l + 1) R = 0 包含了 γ, l(l + 1) 与 λ 三个分离变量常数，其中 λ 为时空分离引进的分离变量常数。 求解这些分离变量常数并确定相应的微分方程之解的过程，称为求解微分方程的本征值问题。 如何求解？化三元函数的边值问题为单元函数的边值问题，再求分离变量常数应取何值，才存在满足边条的单元函数解。 首先，Φ 满足的方程最为简单，利用 Φ 的周期条件可确定本征值 γ 及相应的本征函数。  Φ″ + γ Φ = 0 Φ(ϕ + 2 π) = Φ(ϕ) ⟶ γ = m2, Φm(ϕ) = Am ′ cos m ϕ + Bm ′ sin m ϕ 或 Φm(ϕ) = Am  m ϕ + Bm - m ϕ , m = 0, 1, 2, … 接下来，就是利用 Θ 满足的微分方程及边界（自然）条件确定本征值 l(l + 1)。 对 Θ 满足的微分方程做变换： x = cos θ , y(x) = Θ(θ)，则 Θ 满足的微分方程： 1 sin θ  θ (sin θ Θ′ ) + l(l + 1) - m2 sin2 θ Θ = 0 (1.1) 化为：  x 1 - x2 y x + l(l + 1) - m2 1 - x2 y = 0 —— 连带 (associated) Legendre 方程 (1.2) 本章讨论连带 Legendre 方程的求解、解的性质、解的推广以及其在球坐标分离变量法中的应用。 以下一小段  Mathematica 代码将 Θ 满足的微分方程 (1.1) 化为连带 Legendre 方程