im1={x→Cos[e] im2=e→ ArcCos[x]} D[sin[e]D[y【x]/.sim1,e],e]+1(1+1)- y eq= FullSimplify [eq / sim2,[0<0<]]i c2= Simplify [Coefficient [eq, y'[x]l]; cl =Simplify [coefficient[eq,y.[x]]] cO Simplify [coefficient[eq, y[x]]] (c2 y '[x]+cly [x]+c0 y [x])// TraditionalForm yx)((+1)(x2-1)+m2) +(1-x2)y(x)-2xy(x) 131 Legendre方程的解 当连带 Legendre方程(1.2)中m=0时,方程退化为 Legendre方程(参见$6.3) (1-x)|++1)y=0 Legendre方程 这个方程对应于轴对称物理问题,这时问题的解与方位角d无关,=常数,对应于m=0 Legendre方程有三个正则奇点:x=±1及x=∞。而x=0是方程的常点 在微分方程常点邻域,根据 Frobenius and Fuchs定理,方程有两个以下形式的线性无关解 y(x)=ScA 在§63已求出, Legendre方程的两个线性独立解为 22(1)(1+1 xk, n(x)=cI S (2k)!(2 (2k+1)! 其中c0和a为常数,(an为 Pochhammer符号:(ahn=a(a+1)(a+2)…(a+n-1)=a+n 这里的 Legend程来自变量代换x=cs6,在=0.,r(即x=±1),物理量应有限,对应的微分方程的解应该收敛 但 Legendre方程在x=±1是正则奇点,故FF定理仅保证在<1方程的级数解收敛(有界) 不能保证在一般情况下(对任意的l值),微分方程的解在x=±1有界 因此,需要探讨在什么条件下,y(x)和减或y(x)在x=±1收敛(有界) 寻找 Legendre方程在x=±1时有界(符合物理要求)的解 Q寻找 Legendre方程在X=±1处有界的解 对一般的/值,yo(x)相邻两项之比为 0=∑=20-2(41(4+1 f(2k)!(2k(2 2k(2k+1)-+1) k+1)(2k+2) (2k+1)(2k+2 故据比值判别法,只能证明级数yo(x)在<1收敛sim1 = {x  Cos[θ]}; sim2 = {θ  ArcCos[x]}; eq = 1 Sin[θ] D[Sin[θ] D[y[x] /. sim1, θ], θ] + l (l + 1) - m2 Sin[θ]2 y[x]; eq = FullSimplify[eq /. sim2, {0 < θ < π}]; c2 = Simplify[Coefficient[eq, y''[x]]]; c1 = Simplify[Coefficient[eq, y'[x]]]; c0 = Simplify[Coefficient[eq, y[x]]]; (c2 y''[x] + c1 y'[x] + c0 y[x]) // TraditionalForm y(x) l (l + 1) x2 - 1 + m2 x2 - 1 + 1 - x2 y′′(x) - 2 x y′ (x) 13.1 Legendre 方程的解 当连带 Legendre 方程 (1.2) 中 m = 0 时，方程退化为 Legendre 方程（参见 §6.3 ）  x 1 - x2 y x + l(l + 1) y = 0 —— Legendre 方程 (1.3) 这个方程对应于轴对称物理问题，这时问题的解与方位角 ϕ 无关，Φ = 常数，对应于 m = 0。 Legendre方程有三个正则奇点：x = ±1 及 x = ∞。而 x = 0 是方程的常点。 在微分方程常点邻域，根据 Frobenius and Fuchs 定理，方程有两个以下形式的线性无关解 y(x) =  k=0 ∞ ck xk 在 §6.3 已求出， Legendre 方程的两个线性独立解 为 y0(x) = c0  k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k, y1(x) = c1  k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1, 其中 c0 和 c1 为常数，(a)n 为 Pochhammer 符号：(a)n = a(a + 1) (a + 2) ⋯(a + n - 1) n 项相乘 = Γ(a + n) Γ(a) 这里的Legendre方程来自变量代换 x = cos θ，在 θ = 0, π (即 x = ±1)，物理量应有限，对应的微分方程的解应该收敛。 但Legendre方程在 x = ±1 是正则奇点，故 F-F 定理仅保证在 x < 1 方程的级数解收敛（有界）， 不能保证在一般情况下（对任意的 l 值），微分方程的解在 x = ±1 有界。 因此，需要探讨在什么条件下，y0(x) 和/或 y1(x) 在 x = ±1 收敛（有界）。 —— 寻找 Legendre方程在 x = ±1 时有界（符合物理要求）的解。  寻找 Legendre方程在 x = ±1 处有界的解 对一般的 l 值，y0(x) 相邻两项之比为 y0(x) =  k=0 ∞ ak = c0  k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k ⟶ lim k∞ ak+1 ak = lim k∞ 22 - l 2 + k 1 + l 2 + k x2 (2 k + 1) (2 k + 2) = lim k∞ 2 k(2 k + 1) - l(l + 1) (2 k + 1) (2 k + 2) x2 = x2 故据 比值判别法 ，只能证明级数 y0(x) 在 x < 1 收敛。 2 z13a.nb