对x=±1,比值判别法无法判别。利用高斯判别法 ak(2k+1)(2k (2k+1)(2k+2) ak+12k(2k+1)-(/+1) l(+1) k(2k+1) l(+1) k(2k+1) k 由高斯判别法,级数发散(无界) 注:对y(x),当k足够大时,级数的每一项都是正的,收敛与绝对收敛是一致的 类似可 (x)在x=±1也是无界的 从而,在x=±1处的有界条件限制了1不可以随便取值 原来除了齐次边条之外还可以通过自然边条确定本征值和本征函数 观察:1)=2 x2k, y,(x)=cy 台(2k)!(2从(2人k (2k+1)!(2 合因子,若1为0或正数2m则(m++012 无穷级数退化为从k=0到k=n的n+1项多项式,且每一项都是x的2k幂次,多项式yo(x-=有界 类似地,由y1(x)知,若l为正奇数2n+1,则: =(-m)…(-n+k-1)=0ifk≥n+1 无穷级数仅剩下从k=0到k=n的n+1项,且每一项都是x的2k+1幂次,多项式y(x)l有界 因此,若要得到在x=±1处有界的解,必须取自然数。 当/为偶数时, Legendre方程(13)有一个在x=±1有界的解,yo(x) 它为只含有偶幂次项xk=01-)的1次多项式 当l为奇数时, Legendre方程(1.3)有一个在x=±1有界的解,y(x), 它是只含有奇幂次项x2k+k=0,1 的次多项式 于是,人们就把 Legendre方程在x=±1处有界的这个解记为:P(x), 称为 Legendre多项式,其中l为自然数。 注意/为偶数时,PAx)=y(x),仅含偶次幂,为奇数时,PAx)=y1(x),仅含奇次幂。最高幂次均为l 但即使l为自然数, Legendre方程的另一个线性独立解在x=±1处仍是无界的, 这个解记为:Q(x),称为第二类 Legendre函数(它不是多项式,是无穷级数)。 当然,若l不为自然数,P(x)在x=±1处是无界的,这时它也不称为 Legendre多项式,称为第一类 Legendre函数 ■从yo(x)与y1(x)的表达式可知, yo(x)=co (2k+1)!(2 前面的处理针对于上式的紫色因子,对蓝色因子,岂不也可作类似的讨论: 当l为负奇数时,l=-(2n+1)时 =(-n)…(-n+k-1)=0ifk≥n+l (x)仍退化为2n次多项式,即退化为2n=团-1=-1-1=P次多项式 当l为负偶数时,l=-2n时,+1=(-n+1)…(-n+1+k-1)=0ik y(x)仍退化为2n-1次多项式,即退化为|4-1=-1-1=P≥0次多项式对 x = ±1, 比值判别法无法判别 。利用 高斯判别法 k  ∞ 时， ak ak+1 = (2 k + 1) (2 k + 2) 2 k (2 k + 1) -l(l + 1) = (2 k + 1) (2 k + 2) 2 k (2 k + 1) 1 - l(l + 1) 2 k (2 k + 1) ∼ 1 + 1 k 1 + l(l + 1) 2 k (2 k + 1) ∼ 1 + 1 k + o 1 k2 由 高斯判别法 ，级数发散 （无界）。 注：对 y0(x)，当 k 足够大时 ，级数的每一项都是正的 ，收敛与绝对收敛是一致的 。 类似可证 ，y1(x) 在 x = ±1 也是无界的 。 从而，在 x = ±1 处的有界条件限制了 l 不可以随便取值 —— 原来除了齐次边条之外还可以 通过自然边条确定本征值和本征函数。 观察：y0(x) = c0  k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k, y1(x) = c1  k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1, y0(x) 含有 - l 2 k 因子，若 l 为 0 或正偶数 2 n，则： - l 2 k = (-n) ⋯(-n + k - 1) = 0 if k - 1 ≥ n， 无穷级数退化为从 k = 0 到 k = n 的 n + 1 项多项式 ，且每一项都是 x 的 2 k 幂次，多项式 y0(x) x=±1 有界。 类似地，由 y1(x) 知，若 l 为正奇数 2 n + 1，则： - l - 1 2 k = (-n) ⋯(-n + k - 1) = 0 if k ≥ n + 1 无穷级数仅剩下从 k = 0 到 k = n 的 n + 1 项，且每一项都是 x 的 2 k + 1 幂次，多项式 y1(x) x=±1 有界。 因此，若要得到在 x = ±1 处有界的解， l 必须取自然数。 当 l 为偶数时，Legendre方程 (1.3) 有一个在 x = ±1 有界的解，y0(x)， 它为只含有偶幂次项 x2 k k = 0, 1, ... l 2 的 l 次多项式 ； 当 l 为奇数时，Legendre方程 (1.3) 有一个在 x = ±1 有界的解，y1(x)， 它是只含有奇幂次项 x2 k+1 k = 0, 1, ... l - 1 2 的 l 次多项式 。 于是，人们就把Legendre方程在 x = ±1 处有界的这个解记为：Pl(x)， 称为 Legendre 多项式，其中 l 为自然数 。 注意 l 为偶数时 ，Pl(x) = y0(x), 仅含偶次幂 ， l 为奇数时 ，Pl(x) = y1(x), 仅含奇次幂 。最高幂次均为 l。 但即使 l 为自然数，Legendre方程的另一个线性独立解在 x = ±1 处仍是无界的， 这个解记为：Ql(x)，称为第二类Legendre函数（它不是多项式，是无穷级数）。 当然，若 l 不为自然数，Pl(x) 在 x = ±1 处是无界的，这时它也不称为 Legendre多项式 ，称为第一类Legendre函数 ◼ 从 y0(x) 与 y1(x) 的表达式可知， y0(x) = c0  k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k, y1(x) = c1  k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1, 前面的处理针对于上式的紫色因子 ，对蓝色因子 ，岂不也可作类似的讨论 ： 当 l 为负奇数时 ， l = -(2 n + 1) 时， l + 1 2 k = (-n) ⋯(-n + k - 1) = 0 if k ≥ n + 1 y0(x) 仍退化为 2 n 次多项式 ，即退化为 2 n = l - 1 = -l - 1 = l ′ 次多项式 当 l 为负偶数时 ，l = -2 n 时， l 2 + 1 k = (-n + 1) ⋯(-n + 1 + k - 1) = 0 if k ≥ n y1(x) 仍退化为 2 n - 1 次多项式，即退化为  l -1 = -l -1 = l ′ ≥ 0 次多项式 z13a.nb 3