因此:当l为负整数时, Legendre方程仍有一个在x=±1处有界的解, 该解为P=团-1=-1-1≥0次多项式 1为偶(奇)数时,仅有奇(偶)次幂。最高幂次为:P=-1 该多项式满足 Legendre方程 d (1-x)|+01+1)y=0 +P("+1)y=0 P=-}-1 比较可知:l为负整数时的解等价于P=-1-1≥0的解。也就是说,l为负整数并不给出新的解。 例如:|=-5的解与l=--1=4的解完全相同,l=-6的解与l=-1-1=5的解完全相同。 这一点与求解方程φ"+m2φ=0时并不需要考虑m<0时的解类似 因此,在以后的讨论中就不再讨论/为负整数时的解,因为其解等价于正整数P=-1>0的解 即:当l<0时,PAx)=P-1(x)=P-1-1(x) Simplify [LegendreP[-5,xI-LegendreP[4,x]] FullSimplify [LegendreP [n, x]-LegendreP[-n-l, x], [n E Integers,n<0]1 ■到目前为止,我们还没有给定c0与c yo(x)=co> 1(+1)x4,y(x=2k+1 其实无论c与c1取什么常数,yo(x),y(x)均为 Legendre方程的解。 数学上,通过PAx)l=1=PA1)=1来确定c与c1。(为何不是直接让c0=c1=1?下面解释) lear [l k resO= Sum 22k Pochhammer k Pochhammer k/(2k)!,(k,0,n}因此：当 l 为负整数时 ，Legendre方程仍有一个在 x = ±1 处有界的解 ， 该解为 l ′ = l - 1 = -l - 1 ≥ 0 次多项式 。 l 为偶 （奇） 数时，仅有奇 （偶） 次幂。最高幂次为 ：l ′ = - l - 1 该多项式满足Legendre方程 ：  x 1 - x2 y x + l(l + 1) y = 0 l′=-l-1 l′(l′+1) = l (l+1)  x 1 - x2 y x + l ′ (l ′ + 1) y = 0 比较可知 ：l 为负整数时的解等价于 l ′ = -l - 1 ≥ 0 的解。也就是说，l 为负整数并不给出新的解 。 例如：l = -5 的解与 l = -l - 1 = 4 的解完全相同 ，l = -6 的解与 l = -l - 1 = 5 的解完全相同 。 这一点与求解方程 Φ″ + m2 Φ = 0 时并不需要考虑 m < 0 时的解类似 。 因此，在以后的讨论中就不再讨论 l 为负整数时的解 ，因为其解等价于正整数 l ′ = l - 1 > 0 的解。 即：当 l < 0 时，Pl(x) = Pl-1(x) = P-l-1(x) Simplify[LegendreP[-5, x] - LegendreP[4, x]] FullSimplify[LegendreP[n, x] - LegendreP[-n - 1, x], {n ∈ Integers, n < 0}] 0 0 ◼ 到目前为止，我们还没有给定 c0 与 c1 y0(x) = c0  k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k, y1(x) = c1  k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1, 其实无论 c0 与 c1 取什么常数 ，y0(x), y1(x) 均为Legendre方程的解 。 数学上，通过 Pl(x) x=1 = Pl(1) = 1 来确定 c0 与 c1。（为何不是直接让 c0 = c1 = 1？下面解释 ） Clear[l, n, k]; l = 2 n; res0 = Sum 22 k Pochhammer - l 2 , k Pochhammer (l + 1) 2 , k  (2 k)!, {k, 0, n} l = 2 n + 1; res1 = Sum 22 k Pochhammer - (l - 1) 2 , k Pochhammer l 2 + 1, k  (2 k + 1)!, {k, 0, n} (-1)n π n! 1 2 (-1 + 2 n) ! (-1)n π n! 2 1 2 (1 + 2 n) ! 4 z13a.nb