分母为半奇数的阶乘?非整数的阶乘是个什么东东?原来是r函数的另一种写法 cO= FullSimplify [1 / reso, n E In cl= FullSimplify [1/ resl FullSimplify [cl/c0] +2n =2n = 数学上可以证明:: 22n(n!)2 PA1)= 为奇数和偶数时,P(x)分别等于 (2k)!(2人(2 +1 两个表达式,不方便。以下把它化成一个统一的表达式 当l为偶数时:设l=2 PIx)=yo(x)=co =2n (2k)!(2A 20922!1n!2m+28)mx2,令:k=n一F (-1y(2n)! 2k(n-k)!2k(2n)!(n+k)! (-1y 1(2-2r)! 以下代码验证PA1)=1 r,0,n} r!(1-x)!(1-2x)! 当l为奇数时:设l=2n+1 Pix)=yI(x)=cI (2k+分母为半奇数的阶乘 ？非整数的阶乘是个什么东东 ？原来是 Γ 函数的另一种写法 。 FullSimplify[res0] c0 = FullSimplify[1 / res0, n ∈ Integers]; c1 = FullSimplify[1 / res1, n ∈ Integers]; FullSimplify[c1 / c0] (-1)n π n! Gamma 1 2 + n 1 + 2 n 数学上可以证明 ：： l = 2 n ， 取 c0 = (-1)n (2 n)! 22 n (n!)2 , 则：y0(1) = 1 l = 2 n + 1，取 c1 = (-1) n (2 n + 1)! 22 n (n!)2 , 则：y1(1) = 1 ⟶ Pl(1) = 1 l 为奇数和偶数时 ，Pl(x) 分别等于 y0(x) = c0  k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k y1(x) = c1  k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1 两个表达式 ，不方便。以下把它化成一个统一的表达式 。 当 l 为偶数时：设 l = 2 n Pl(x) = y0(x) = c0  k=0 ∞ 22 k (2 k)! - l 2 k l + 1 2 k x2 k, l = 2 n = (-1)n (2 n)! 22 n (n !) 2  k=0 n 22 k (2 k)! (-1)k n! 2k (n - k)! (2 n + 2 k)! n! 2k (2 n)! (n + k)! x2 k, 令： k = n - r = (-1)n 2l  r=0 n 1 (l - 2 r)! (-1)n-r 1 r! (2 l - 2 r)! (l - r)! xl-2 r = 1 2l  r=0 n (-1) r r! (2 l - 2 r)! (l - r)! (l - 2 r)! xl-2 r 以下代码验证 Pl(1) = 1 Clear[l, n, r]; l = 2 n; Sum (-1)r (2 l - 2 r)! 2l r! (l - r)! (l - 2 r)! , {r, 0, n} 1 当 l 为奇数时：设 l = 2 n + 1 Pl(x) = y1(x) = c1  k=0 ∞ 22 k (2 k + 1)! - l - 1 2 k l 2 + 1 k x2 k+1, l = 2 n + 1 z13a.nb 5