(-1y(2n+1)! n!(2n+2+2k)!(n+1)! k+,令:k= 22(n!)2fd(2k+1)!24(m-k)!24(2n+2)!(n+1+k)! lyu (2-2p)! 以下代码验证PA(1)=1 r,0 这样,两个表达式形式上完全相同,对任意自然数l,PAx)可写成统一的表达式: 为偶数 (x)= (2-2n)!/(-!-2n!)x2x,级数表示|R 为奇数 它是如下阶 Legendre方程在x=±1处有界的解,称为l阶 Legendre多项式,也称l次 Legendre多项式 ndre方程 dx 在这里,我们看到通过P(x)l=1=P(1)=1来确定c与c1的第一个理由:Px)有统一的表达式 该常微分方程的另一个线性无关解为:Q(x),称为第二类 Legendre函数,在x=±1处无界。 关于第二类 Legendre函数,将在以后的章节讨论 ■几个低阶 Legendre多项式,注意其奇偶性 P2(x)=(3x2-1) P2(x) P P2(x)=(35x-30x2+3) endre [3, x]= (-1)n (2 n + 1)! 22 n (n!)2  k=0 n 22 k (2 k + 1)! (-1)k n! 2k (n - k)! (2 n + 2 + 2 k)! (n + 1)! 2k (2 n + 2)! (n + 1 + k)! x2 k+1, 令： k = n - r = (-1)n 22 n+1  r=0 n 1 (l - 2 r)! (-1)n-r 1 r! (2 l - 2 r)! (l - r)! xl-2 r = 1 2l  r=0 n (-1)r r! (2 l - 2 r)! (l - r)! (l - 2 r)! xl-2 r 以下代码验证 Pl(1) = 1 Clear[l]; l = 2 n + 1; Sum (-1)r (2 l - 2 r)! 2l r! (l - r)! (l - 2 r)! , {r, 0, n} 1 这样，两个表达式形式上完全相同 ，对任意自然数 l，Pl(x) 可写成统一的表达式 ： Pl (x) = 1 2l  r=0 R (-1)r r! ((2 l - 2 r)!/((l - r)! (l - 2 r)! )) xl-2 r, 级数表示 R = l 2 l 为偶数 l - 1 2 l 为奇数 即： R = l 2 (1.4) 它是如下 l 阶Legendre 方程 在 x = ±1 处有界 的解，称为 l 阶 Legendre 多项式，也称 l 次 Legendre 多项式  x 1 - x2 y x + l(l + 1) y = 0 —— l 阶 Legendre 方程 在这里，我们看到通过 Pl(x) x=1 = Pl(1) = 1 来确定 c0 与 c1 的第一个理由 ：Pl(x) 有统一的表达式 。 该常微分方程的另一个线性无关解为 ：Ql(x)，称为第二类 Legendre 函数，在 x = ±1 处无界。 关于第二类 Legendre 函数，将在以后的章节讨论 。 ◼ 几个低阶Legendre多项式，注意其奇偶性 P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 1 2 3 x2 - 1 P3(x) = 1 3 5 x3 - 3 x P4(x) = 1 8 35 x4 - 30 x2 + 3 -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 Pn(x) P1(x) P3(x) P5(x) -1.0 -0.5 0.5 1.0 -1.0 -0.5 0.5 1.0 Pn(x) P2(x) P4(x) P6(x) LegendreP[3, x] 1 2 (-3 x + 5 x3) 6 z13a.nb