教案 线形变换及其矩阵表示 教学内容 线形变换是几何空间和函数空间中最简单的变换,它有着深刻的几何学和物 理学背景,是一个经常使用的数学工具,在数学理论研究和实际应用中起着重要 作用。在这节中主要讲解以下几方面的内容 (1)线性变换的概念、乘积变换和可逆变换的概念 (2)线性变换的矩阵表示; (3)在不同基下的表示矩阵之间的关系; (4)在线性变换下坐标的变化情况 教学思路和要求 (1)线性空间与线性变换这部分内容,由于其抽象性较强,所以首先要把 其背景讲清楚,再抽象其理论定义。因此在教学安排上先从简单的几 何变换入手,引导学生理解线性变换的概念的深刻含义,以及应有的 形式。 (2)线性变换的概念、线性变换的矩阵表示是本节内容的重点 (3)线性变换在不同基下的表示矩阵之间的关系也是要求必须掌握的内 容 (4)为了使学生理解线性变换的矩阵表示的方法,可以先从向量空间上入 手,便于理解; (5)要通过例子来引导学生学会计算表示矩阵以及不同基下的表示矩阵 之间的关系等 教学安排 几个简单的几何变换 复杂的几何变换可以归结为简单的几何变换的累积,而任何几何图形的变 换,说到底是点的变换 我们先从R2谈起。容易发现,若给定了一个2×2矩阵 a (a21a22 则对平面上任意点(即向量)x 通过矩阵与向量的乘法运算 可以唯一确定了平面上的一点x′。x'可以看成是由x经过某种变换得到的点, 而这个变换的规律显然由矩阵A所确定 例52.1问以下矩阵对R2上的任意点x,由x'=Ax(i=1,2,345)确定 了什么样的变换? 10 (1)A1 (2)A2 10 (3)42=20教 案 线形变换及其矩阵表示 教学内容 线形变换是几何空间和函数空间中最简单的变换，它有着深刻的几何学和物 理学背景，是一个经常使用的数学工具，在数学理论研究和实际应用中起着重要 作用。在这节中主要讲解以下几方面的内容： （1） 线性变换的概念、乘积变换和可逆变换的概念； （2） 线性变换的矩阵表示； （3） 在不同基下的表示矩阵之间的关系； （4） 在线性变换下坐标的变化情况。 教学思路和要求 （1） 线性空间与线性变换这部分内容，由于其抽象性较强，所以首先要把 其背景讲清楚，再抽象其理论定义。因此在教学安排上先从简单的几 何变换入手，引导学生理解线性变换的概念的深刻含义，以及应有的 形式。 （2） 线性变换的概念、线性变换的矩阵表示是本节内容的重点； （3） 线性变换在不同基下的表示矩阵之间的关系也是要求必须掌握的内 容； （4） 为了使学生理解线性变换的矩阵表示的方法，可以先从向量空间上入 手，便于理解； （5） 要通过例子来引导学生学会计算表示矩阵以及不同基下的表示矩阵 之间的关系等。 教学安排 一．几个简单的几何变换 复杂的几何变换可以归结为简单的几何变换的累积，而任何几何图形的变 换，说到底是点的变换。 我们先从 2 R 谈起。容易发现，若给定了一个 2×2 矩阵          21 22 11 12 a a a a A ， 则对平面上任意点（即向量）          y x x ，通过矩阵与向量的乘法运算            21 22 11 12 a a a a x Ax         y x            y x ， 可以唯一确定了平面上的一点 x。 x 可以看成是由 x 经过某种变换得到的点， 而这个变换的规律显然由矩阵 A 所确定。 例 5.2.1 问以下矩阵对 2 R 上的任意点 x，由 x  Ai x （ i 1,2,3,4,5 ）确定 了什么样的变换？ （1）           0 1 1 0 A1 ； （2）          1 0 0 1 A2 ； （3）            0 0 A3 ；