(1)r(4)<n分A缸=0有非零解，等价说法，r(Amxm)=n÷A=0只有零解 2)若A是刀阶矩阵.Ax三0有非零解的东要条件是A1三0. (3)A=0有非零解的充分条件是， (即方程个数<未知数个数) (4)AB=0r(A)+r(B)≤n,且B的每一列均为Ar=0的解 16.)如果1,52是Ar=b的两个解，则61-2是A=0的解 (回如果，是A 0的两个解，则其线性组合1m+k2m仍是A=0的解 ()如果E是A红=的解，n是A红=0的解，则+n仍是A红=b的解 17.令S={xAx=0以，即S是A红=0的所有解的集合，则s为一个向量空间，称为Az=0的解空间. (1)S的一个极大线性无关组1,2，，称为4x=0一个的基础解系此时红=k1m+22+…十 是Ax=0的通解，其中k1,k2 ,k是任意常数，基础解系中解向量的个数t=n一r(A)=自由变量的 (②)若是A=b的一个特解，m,2,…,m为其导出组A=0一个的基础解系则r=k1n+k2+ ,,+k+0是Ax=0的通解其中k1.,·,,k是任意常数. (3)若Az=b(≠0)有k个线性无关的解，则A红=0有k-1个线性无关的解，从而k-1≤n一r(A). (4若61，·，是A红=0的k个线性无关的解，5o是Ar=bb≠0)的解，则51+o,…,64+0,o是Ar= ≠0)的k+1个线性无关的解. 18.设Ax=bb≠0)，r(4)=r,则r(4)=r(4,)或r(4)=r(4,b)-1. 1…061r+1…61md4 (4b) 0.1br41,,bmd 0…00 …0dr+ 0...00...00 (（)若dr+1≠0，则r(4A)=r(A,b)-1,A红=b无解：(2)若d,+1=0,则(A)=r(A)=,可得到出 =0的基础解析为： -b1r+2 -b1 h -ber+3 E2 0 Ax=b的特解0 0 0 于是A工=b通解为 n-r5n-,十60，其中和1，·，kn-,为任意常数 (三)，矩阵的特征值和特征向量，实对称矩阵及二次型 1.设A是n阶矩阵.若存在数入及非零的n维列向量a,使得Aa=λa成立.则称入是矩阵A的特征值.称非 零向量。是矩阵A属于特征俏入的特征向量 是矩阵A属于特征值λ的特征向量三是齐次线性方程组(E一A)x=0的非零解 2.若Ar=0有非零解，则4有特征值0且4红=0的所有非零解为属于特征值0的特征向量。 3.设n阶矩阵A=(a)的特征值为入1,2，…，入，A为A伴随矩阵，f)为多项式，则 (i)入1+2+·+入m=a11+022+·+anm=tr(A: 3(1) r(A) < n ⇔ Ax = 0kö"), d`{, r(An×m) = n ⇔ Ax = 0êk"). (2) eA¥n› ,Ax = 0kö")øá^á¥|A| = 0. (3) Ax = 0kö")ø©^á¥m < n(=êßáÍ<ôÍáÍ) (4) AB = 0 ⇔ r(A) + r(B) ≤ n, ÖBzò˛èAx = 0). 16. (i) XJξ1, ξ2¥Ax = b¸á),Kξ1 − ξ2¥Ax = 0); (ii) XJη1, η2¥Ax = 0¸á), KŸÇ5|‹k1η1 + k2η2 E¥Ax = 0). (iii) XJξ ¥Ax = b),η¥Ax = 0 ),Kξ + ηE¥Ax = b ). 17. -S = {x|Ax = 0}, =S¥Ax = 0§k)8‹,KSèòáï˛òm,°èAx = 0)òm. (1) Sòá4åÇ5Ã'|η1, η2, · · · , ηt°èAx = 0òáƒ:)X.dûx = k1η1 + k2η2 + · · · + ktηt¥Ax = 0œ),Ÿ•k1, k2, · · · , kt¥?ø~Í, ƒ:)X•)ï˛áÍt = n − r(A) =gdC˛ áÍ. (2) eη0¥Ax = bòáA),η1, η2, · · · , ηt蟗|Ax = 0òáƒ:)X,Kx = k1η1 + k2η2 + · · · + ktηt + η0¥Ax = 0œ),Ÿ•k1, k2, · · · , kt¥?ø~Í. (3) eAx = b(6= 0)kkáÇ5Ã'),KAx = 0kk − 1áÇ5Ã'), l k − 1 ≤ n − r(A). (4) eξ1, · · · , ξk¥Ax = 0káÇ5Ã'),ξ0¥Ax = b(b 6= 0)),Kξ1 + ξ0, · · · , ξk + ξ0, ξ0¥Ax = b(6= 0)k + 1áÇ5Ã'). 18. Ax = b(b 6= 0), r(A) = r, Kr(A) = r(A, b)½r(A) = r(A, b) − 1. (A . . .b) ∼   1 · · · 0 b1r+1 · · · b1n d1 . . . . . . . . . . . . . . . 0 · · · 1 brr+1 · · · brn dr 0 · · · 0 0 · · · 0 dr+1 . . . . . . . . . . . . . . . 0 · · · 0 0 · · · 0 0   , (1) edr+1 6= 0, Kr(A) = r(A, b) − 1, Ax = bÃ);(2) edr+1 = 0, Kr(A) = r(A, b) = r, å— |Ax = 0ƒ:)¤è: ξ1 =   −b1r+1 . . . −brr+1 1 0 . . . 0   , ξ2 =   −b1r+2 . . . −brr+2 0 1 . . . 0   , · · · , ξn−r =   −b1n . . . −brn 0 0 . . . 1   , Ax = bA)ξ0 =   d1 . . . dr 0 . . . 0   , u¥Ax = bœ)èx = k1ξ1 + · · · + kn−rξn−r + ξ0,Ÿ•k1, · · · , kn−rè?ø~Í. (n), › Aä⁄Aï˛, ¢È°› 9g. 1. A¥n› ,e3Íλ9ö"nëï˛α, ¶Aα = λα§·,K°λ¥› AAä,°ö "ï˛α¥› A·uAäλ Aï˛. α¥› A·uAäλAï˛ ᥇gÇ5êß|(λE − A)x = 0ö"); 2. eAx = 0kö"), KAkAä0ÖAx = 0§kö")è·uAä0Aï˛. 3. n› A = (aij )Aäèλ1, λ2, · · · , λn, A∗èAäë› , f(x)èıë™, K (i) λ1 + λ2 + · · · + λn = a11 + a22 + · · · + ann = tr(A); 3