丌h2 S=2mnrsin-4r2sin 2m n 由于当m→∞,n→∞时,上式中两圆括号 内的值都趋于1,因此S的极限与”的极限 有关。当”的极限不存在时,Sm的极限也不 图6 存在;当"有极限时,S的极限为 S(1) 这一极限与l有关,即与m,n同时趋于无穷大的方式有关。只有当l=0 时它才是圆柱面的面积2mh。 由于m,n可以各自独立地趋于无穷大,所以S确实没有一个与 m,n增加方式无关的极限。也就是说,无法用“内接多面形之面积的 极限”来定义曲面的面积。 再来看一下l=0的几何意义:设O是三角形所在平面与圆柱面母 线的夹角(图6),那么当l=0,即"→0时,显然有 r-rcOS SIn tan e 2h T 这说明只有当三角形所在的平面趋于切平面位置时,S才可能以圆 柱面的面积为极限2 2 42 2 sin4sin n h m r m + π π mn = 2mnrS 1 2 2 sin 4 sin 2 4 2 4 2 24 + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = m n m m h r m m rh π π π π π π 。 由于当m → ∞ ， 时，上式中两圆括号 内的值都趋于 1，因此 的极限与 n ∞→ S mn 2 m n 的极限 有关。当 2 m n 的极限不存在时， 的极限也不 存在；当 S mn 2 m n 有极限 时， l S mn 的极限为 图 6 2 224 4 2)( h lr = rlS + π π 。 这一极限与 有关，即与 同时趋于无穷大的方式有关。只有当l＝0 时它才是圆柱面的面积 l , nm 2πrh。 由于 可以各自独立地趋于无穷大，所以 确实没有一个与 增加方式无关的极限。也就是说，无法用“内接多面形之面积的 极限”来定义曲面的面积。 , nm S mn , nm 再来看一下l＝0 的几何意义：设θ 是三角形所在平面与圆柱面母 线的夹角(图 6)，那么当l = 0，即 0 2 → m n 时，显然有 0 2 2 sin 2 2 sin2cos tan 2 2 2 2 → ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = − = m n m m h r n h m r n h m rr π π π π π θ ， 这说明只有当三角形所在的平面趋于切平面位置时， 才可能以圆 柱面的面积为极限。 S mn 8