g鼎- =in tan=fin tamntn对 tanx -In(tanx)+C. 1+(N)2 =2farctand(arctan)=(arctan+C. 身0三 分析若将积分变形为arctan-.d(arctan.),则无法积分，但如果考虑到凑出。，将被 :否宁，将子与血结合流成则响即可解 积函数变形为c上.！ 1 arctan =-∫aretanrctan (arctany +c. 倒1求t 分析仔细观察被积函数的分子与分母的形式，可知(xnxy=1+nx 解=anc. 例12(04研)已知f(e)=xe，且f0)=0,则fx)= 分析先求f(x),再求x). 解令e=,即x=h,从而f0=h.故 f(x)==fInxd(lnx)=nx+C 由/0=0，得C=0,所以)=hx. 例13求∫5n2x+2snx解 （1） 2 ln tan ln tan sin cos tan cos x x dx dx x x x x =   ln tan (tan ) ln tan (ln tan ) tan x d x xd x x = =   1 2 ln (tan ) 2 = + x C ． （2） 2 arctan arctan 2 (1 ) 1 ( ) x x dx d x x x x = + +   2 = = + 2 arctan (arctan ) (arctan ) xd x x C  ． 例 10 求 2 1 arctan 1 x dx + x  ． 分析 若将积分变形为 1 arctan (arctan ) d x x  ，则无法积分，但如果考虑到凑出 1 x ，将被 积函数变形为 2 2 1 arctan 1 1 1 ( ) x x x  + ，再将 2 1 x 与 dx 结合凑成 1 d( ) x − ，则问题即可解决． 解 2 2 2 2 1 1 1 arctan arctan arctan 1 1( ) 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) x x x dx dx d x x x x x =  = − + + +    1 1 arctan (arctan ) d x x = − 1 1 2 (arctan ) 2 C x = − + ． 例 11 求 2 1 ln ( ln ) x dx x x +  ． 分析 仔细观察被积函数的分子与分母的形式，可知 ( ln ) 1 ln x x x  = + ． 解 2 2 1 ln 1 1 ( ln ) ( ln ) ( ln ) ln x dx d x x C x x x x x x + = = − +   ． 例 12（04 研） 已知 ( )x x f e xe−  = ，且 f (1) 0 = ，则 f x( ) _ = ． 分析 先求 f x ( ) ，再求 f x( ) ． 解 令 x e t = ，即 x t = ln ，从而 ln ( ) t f t t  = ．故 2 ln 1 ( ) ln (ln ) ln 2 x f x dx xd x x C x = = = +   ， 由 f (1) 0 = ，得 C = 0 ，所以 1 2 ( ) ln 2 f x x = ． 例13 求 sin 2 2sin dx x x +  ．