(数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 则函数f(x)的Fourier级数部分和S.(x)有积分表示式 S.()-+ -dt 2sm 当t=0时，被积函数中的不定式由极限 simn+与r 来确定. 2 sn? -di=1. 证明：由三角公式 +cs++= 2 2 2 Dini收敛定理定理的证明：。 二、逐项积分定理 (一)定理设周期为2π的函数f(x)局部绝对可积且在[-π，π]上 f)-受+2(a,osm+6sinm) 则名收敛，且逐项积分公式成立： (d(a.cosm+b.sinntydi. 注：(1)以上是默认在[一π，上讨论的，一般的逐项积分公式为 (di=(a cosmt+b.sinmydi, 《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 4 则函数 f (x) 的 Fourier 级数部分和 S (x) n 有积分表示式 − + = +    dt t t n S x f x t n 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1 ( ) . 当 t = 0 时, 被积函数中的不定式由极限 2 1 2 2sin ) 2 1 sin( lim 0 = + + → n t n t t 来确定. Dirichlet 积分:  = +   0 1 2 sin 2 2 1 sin 1 dt t t n . 证明：由三角公式 2 2sin 2 2 1 sin cos cos 2 cos 2 1      + + + + + = n  n ,   = +   0 2 sin 2 2 1 sin 1 dt t t n = ( − − = +       1 2 2sin 2 2 1 sin 1 dt t t n cos cos 2 cos n 2 1 + + ++ )dt = 1. Dini 收敛定理定理的证明: 。 . 二、 逐项积分定理 （一） 定理 设周期为 2 的函数 f x( ) 局部绝对可积且在 [ , ] −  上 0 1 ( ) ~ ( cos sin ) 2 n n n a f x a nx b nx  = + +  ， 则 1 n n b n  =  收敛, 且逐项积分公式成立： 0 0 0 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 x x x n n n a f t dt dt a nt b nt dt  =    = + +  . 注: （1）以上是默认在 [ , ] −  上讨论的,一般的逐项积分公式为： 0 1 ( ) ( cos sin ) 2 x x x n n c c c n a f t dt dt a nt b nt dt  =    = + + 