《数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 m2Lfx+0-c+0"2 2sn 4.把上式化为应用Riemann一Lebesgue定理的形式，即令 p0=-r+0-f+0] 1∈(0，π] 【 sin m2n+, 则=+0-+o三=ma+ 为使最后这一极限等于零，由Riemann一Lebesgue定理，只要函数p()在 区间[0，π]上可积.因此希望(0+0)存在.由函数∫在区间[-π，π]上按段光 滑，可以验证(0+0)存在 预备定理及其推论为实施以上证明方案，我们先建立以下预备定理和其 推论 预备定理1(Bessel不等式)若函数f在区间[-π，π]上可积，则有 Bessel不等式 受+2a+)fre恤， 其中an和b,为函数f的Fourier系数 推论1（Riemann-一Lebesgue定理)若函数f在区间[-π，π】上可积， 则有 im(x)cosmd0 imfx)sinx=0· 推论2若函数∫在区间[-π，π]上可积，则有 ()sn(n+)d=0. m「fx)sin+与xk=0. 预备定理2若f(x)是以2π为周期的周期函数，且在区间[-π，π]上可积， 3《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 3 n→ lim    + + − +   0 2 2sin 2 2 1 sin ( 0) ( ) 1 dt t t n f x f x t . ４．把上式化为应用 Riemann — Lebesgue 定理的形式, 即令 , (0 , ] 2 sin ( ) ( 0) 2 ( )         + − + = − t t t t f x t f x t , 则 n→ lim    + + − +   0 2 2sin 2 2 1 sin ( 0) ( ) 1 dt t t n f x f x t        = + →   0  0 2 1 ( )sin 1 lim t n tdt n . 为使最后这一极限等于零, 由 Riemann — Lebesgue 定理, 只要函数 (t) 在 区间 [ 0 , ] 上可积. 因此希望 (0 + 0) 存在. 由函数 f 在区间 [ − , ] 上按段光 滑, 可以验证 (0 + 0) 存在. 预备定理及其推论 为实施以上证明方案, 我们先建立以下预备定理和其 推论. 预备定理 1 ( Bessel 不等式) 若函数 f 在区间 [ − , ] 上可积, 则有 Bessel 不等式    = − + +  1 2 2 2 2 0 ( ) 1 ( ) 2 n an bn f x dx a    , 其中 n a 和 n b 为函数 f 的 Fourier 系数 推论 1 ( Riemann— Lebesgue 定理 ) 若函数 f 在区间 [ − , ] 上可积, 则有 → − =   lim f (x) cos nxdx 0 n , → − =   lim f (x)sin nxdx 0 n . 推论 2 若函数 f 在区间 [ − , ] 上可积, 则有  + = →  0 ) 0 2 1 lim f (x)sin( n xdx n , → − + = 0 ) 0 2 1 lim ( )sin(  f x n xdx n . 预备定理 2 若 f (x) 是以 2 为周期的周期函数, 且在区间 [ − , ] 上可积