《数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 +0+f-0-S=fx+0)+/-0-rfx+ 2sm -dt 2n+, -1±0-u+02 2n+, 2 d, 2 2sin +0-上+w2 于是把问题归结为证明 2 0-+0 h]=0, m2n+, 和=l-+ 2 2 2如0. 这两式的证明是相同的，只证第一 2.为证上述第一式，先利用三角公式 +csp+cos20++eosnp- 2m号 建立所谓Dirich1et积分sm,1 2 d山=1，利用该式把f+0表示为 2 积分，即把九”表示为i积分 sin 2n+1 0=u+02 2 dt. 2 2sin! 于是又把上述1中所指的第一式左端化为 sin n+1 sin 2n+1 回9n子1=▣+0-+0 2 di 2sn 2月 3.利用所谓R1 emann-一Lebesgue定理证明上述极限为零.为此，先证明 Bessel不等式（课本预备定理1），再建立Riemanr一Lebsge定理，然后把 以上最后的式子化为 2 《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 2 2 f (x + 0) + f (x − 0) S (x) − n = 2 f (x + 0) + f (x − 0) − + − +    dt t t n f x t 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1 = = 2 f (x + 0)  + − +   0 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1 dt t t n f x t + 2 f (x − 0) − + − + 0 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1   dt t t n f x t , 于是把问题归结为证明  n→ lim 2 f (x + 0)  + − +   0 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1 dt t t n f x t  = 0 , 和  n→ lim 2 f (x − 0) − + − + 0 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1   dt t t n f x t  = 0 . 这两式的证明是相同的, 只证第一式. 2．为证上述第一式, 先利用三角公式 2 2sin 2 2 1 sin cos cos 2 cos 2 1      + + + + + = n  n 建立所谓 Dirichlet 积分  = +   0 1 2 sin 2 2 1 sin 1 dt t t n , 利用该式把 2 f (x + 0) 表示为 积分,即把 2 f (x + 0) 表示为 Dirichlet 积分 2 f (x + 0) =  + +   0 2 2sin 2 2 1 sin ( 0) 1 dt t t n f x . 于是又把上述 1 中所指的第一式左端化为  n→ lim 2 f (x + 0)  + − +   0 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1 dt t t n f x t ] → = n lim    + + − +   0 2 2sin 2 2 1 sin ( 0) ( ) 1 dt t t n f x f x t . 3．利用所谓 Riemann — Lebesgue 定理证明上述极限为零. 为此 , 先证明 Bessel 不等式(课本预备定理 1 ), 再建立 Riemann — Lebesgue 定理, 然后把 以上最后的式子化为