《数学分析》下册 第十五章Fourier级数 海南大学数学系 §3收敛定理的证明 敦学目的了解收敛定理的证明 教学要求 ()掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理：了解收敛定理的证明要点. (2)理解收敛定理的证明. 教学建议 (①)要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的 证明要点 (②)对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题. 教学程序 一、预备定理及收敛定理的证明 Dii定理-收敛定理设以2π为周期的函数∫在区间[-π，π]上按段光滑， 则在每一点xe[-π，π]，∫的Fourier级数收敛于∫在点x的左、右极限的算 术平均值，即 +0/-0-号+0+6m, 2 其中an和bn为f的Fourier系数. 正明思路设国~受+20，o+点sm应对每个x-,小.我 们要证明S.()→+0)+x-0 2 即证明 =(+0:-0-3-0 2 方法是把该极限表达式化为积分，利用Riemann-—一Lebesgue定理证明相应 积分的极限为零 施证方案 1.写出S,()=?+立a,c0s:+6sm:的简缩形式.称这一简缩形式为 2台 S,(x)的积分形式，或称为Dirichlet积分，即 利用该表示式，式fx+0)+x-0-S,.们可化为 2《数学分析》下册 第十五章 Fourier 级数 海南大学数学系 1 §3 收敛定理的证明 教学目的了解收敛定理的证明． 教学要求 (1)掌握贝塞尔不等式，黎曼-勒贝格定理；了解收敛定理的证明要点． (2)理解收敛定理的证明． 教学建议 (1) 要求学生必须掌握贝塞尔不等式和黎曼-勒贝格定理，了解收敛定理的 证明要点． (2) 对较好学生布置与收敛定理的证明有关的习题． 教学程序 一、 预备定理及收敛定理的证明 Dini定理-收敛定理 设以 2 为周期的函数 f 在区间 [ − , ] 上按段光滑, 则在每一点 x[ − , ] , f 的 Fourier 级数收敛于 f 在点 x 的左、右极限的算 术平均值, 即 a nx b nx f x f x a n n n cos sin 2 2 ( 0) ( 0) 1 0 = + + + + −   = , 其中 n a 和 n b 为 f 的 Fourier 系数. 证明思路 设 f (x) ～   = + + 1 0 cos sin . 2 n an nx bn nx a 对每个 x[ − , ] , 我 们要证明 Sn (x) → 2 f (x + 0) + f (x − 0) . 即证明 0 2 ( 0) ( 0) lim  =      − + + − → n n S f x f x 方法是把该极限表达式化为积分, 利用 Riemann—Lebesgue 定理证明相应 积分的极限为零. 施证方案 1．写出 S (x) n = = + + n k k k a kx b kx a 1 0 cos sin 2 的简缩形式. 称这一简缩形式为 S (x) n 的积分形式, 或称为 Dirichlet 积分, 即 − + = +    dt t t n S x f x t n 2 2sin 2 2 1 sin ( ) 1 ( ) . 利用该表示式, 式 2 f (x + 0) + f (x − 0) S (x) − n 可化为