第27讲线性方程组概念题选讲 165 (2)若方程组Ax=0与方程组Bx=0同解,则R(A)=R(B); (3)若R(An)=n,则对任一n×p矩阵B,有R(AB)=R(B) (4)若R(Ann)=n为实矩阵则R(AA)=R(A)=R(AA 证(1)设Ax=0及Bx=0都是n元方程组,即矩阵A及B的列数都是n,如果Ax =0只有零解,则R(A)=n,此时显然有R(B)≤n=R(A),如果Ax=0存在非零解 则R(A)<n,此时Ax=0的基础解系含n-R(A)个向量,由题设条件,这些向量都是方 程组Bx=0的解,因此,方程组Bx=0至少有n-R(A)个线性无关解,故Bx=0的基 础解系所含向量个数至少为n-R(A),即n-R(B)≥n-R(A),亦即R(B)≤R(A), (2)由题设条件并利用(1)已证的结论,既有R(B)≤R(A),又有R(A)≤R(B),从 而R(A)=R(B) (3)由(2)的结论,只要证明方程组Bx=0与ABx=0同解即可.设x为Bx=0的 解,则Bx。=0,两端左乘A,得ABx。=0,这表示x0也是方程组ABx=0的解,由x0的任 意性知方程组Bx=0的解都是方程组ABx=0的解,反之,设x1为方程组ABx=0的解, 则ABx1=0,即A(Bx1)=0,这表明Bx1是方程组Ax=0的解,由题设条件R(A)=n(A 的列数)知齐次线性方程组Ax=0只有零解,故Bx1=0,即x1也是方程组Bx=0的解 从而知方程组ABx=0的解都是方程组Bx=0的解,以上两方面说明,方程组Bx=0与 方程组ABx=0同解,于是由本题(2)的结论,得R(AB)=R(B) (4)要证明R(AA)=R(A),由本题(2),只要证明两个方程组AAx=0与Ax=0 同解即可.若x满足Ax=0,两端左乘A,即得x满足AAx=0,故方程组Ax=0的解 都是方程组AAx=0的解.反之,若x满足AAx=0,两端左乘x,得xAAx=0,即 (Ax)(Ax)=0,设列向量Ax=(y1,y2,…,yn),则(Ax)(Ax)=(y1,y2,…, )=+y2+…+y2,于是(Ax)(Ax)=0意味着y=y2=…=ym=0,即Ax =0.这表明方程组(A)(Ax)=0的解也都是方程组Ax=0的解.以上两方面,表明方程 组AAx=0与方程组Ax=0同解,于是由本题(2),即得R(AA)=R(A)利用这一结 果,可得R(AA1)=R(A),又因R(A)=R(A3),便有R(AA)=R(A)=R(A)= R(AA)