164 线性代数重点难点30讲 例12设a1,a2,a3是四元非齐次线性方程组Ax=b的三个解向量,且秩(A)= a1=(1,2,3,4)T,a2+a3=(0,1,2,3)2,c表示任意常数,则线性方程组Ax=b的通解 为( (A) 0123 ;(D) 解因为a2,a3为Ax=b的解,故 =(Aa2+Aa3)= (a2+a3)=(0,1,2,3) 为Ax=b的解向量由Ax=b解的性质知 a1-2(a2+a)=(1.2, 为Ax=b对应的齐次线性方程组Ax=0的解,而Ax=0的基础解系含n-r=4-3= 1个解向量,所以 ax=(2,3,4,5)≠0 为Ax=0的一个基础解系.于是线性方程组Ax=b的通解 x=a1+ca=(1,2,3,4)+c(2,3,4,5) 故选(C 例13(2004年全国研究生入学考试试题)设A,B为满足AB=O的任意两个非零知 阵,则必有( (A)A的列向量组线性相关,B的行向量组线性相关 (B)A的列向量组线性相关,B的列向量组线性相关; (C)A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关; (D)A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关 解设A=(a,)mn是m行n列的非零矩阵,则B是n行的非零矩阵因矩阵B是 零矩阵,所以齐次方程组Ax=0有非零解,从而R(A)=r<n(方程组中未知数的个 即A的列数),即A的列向量组的秩为r,故A的列向量组线性相关由A≠O知R(A) 1,因此又得知Ax=O的基础解系所含向量个数为n-R(A)≤n-1<n.所以B的n 行向量线性相关故选(A) 例14试利用齐次线性方程组的基础解系的理论证明: (1)若方程组Ax=0的解都是方程组Bx=0的解,则R(B)≤R(A)