第27讲线性方程组概念题选讲 163 解设B=(x1,x2,x3),则 AB=A(x1,x2,x3)=(Ax1,Ax2,Ax3)=(0,0,…,0), 即 Ax1=0(i=1,2,3) 由矩阵B≠O,知Ax=0有非零解,从而|A|=0.即 A|=4t3=0t-811=7(+3)=0, -77 所以t=-3.故应填-3 例10要使引1=(1,0,2),52=(0,1,-1)都是线性方程组Ax=0的解,只要系 数矩阵A为( (A)[-211] (B) 1011 1-1 (D)4 01-1 解因为向量5,52不成比例故51,52线性无关若1,52都是Ax=0的解,而 (1)线性方程组Ax=0中未知量的个数n=3; (2)Ax=0的基础解系中含2个线性无关的解向量 因此Ax=0系数矩阵的秩 R(A)=3-2=1 由矩阵秩的定义知,(A)对应的矩阵秩为1,而(B)、(C)、(D)对应的矩阵的秩均大于 1,所以选(A) 例11非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n,方程个数为m,系数矩阵A的秩 为r,则() (A)r=m时,方程组Ax=b有解; (B)r=n时,方程组Ax=b有唯一解; (C)m=n时,方程组Ax=b有唯一解; (D)r<n时,方程组Ax=b有无穷多解 解由题意知,A为m×n矩阵,且R(A)=r,若r=m时,则A的m个行向量线性 无关,增广矩阵(Ab)的m个行向量也线性无关,因为线性无关向量组每个向量添加若 干个分量后所得到的向量组仍线性无关,故R(A)=R(A)=m,所以方程组Ax=b有解 另外无论是r=n,还是r<n时都不能保证R(Ab)=R(A),即不能保证方程组 Ax=b有解,可见选(B)、(D)均不对,而m=n时,不能保证A1≠0,因此没有办法说 明方程组Ax=b有唯一解即选(C)也不对,故选(A)