线性代数重点难点30讲 所以η,51,52,…,5。线性无关,它们构成R"的一个基 例7设n阶方阵A的秩为r,证明:存在秩为n-r的方阵B,使得AB=O 分析因为n阶方阵A的秩为r,所以齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系含有n y个向量,这n-r个向量是线性无关的,可用它们构造一个秩为n-r的方阵B,便满足 证因为n阶方阵A的秩为r,所以齐次线性方程组Ax=0一个基础解系含有n-r向 量,设引1,52,…,5n,是Ax=0的一个基础解系则它们线性无关,取矩阵B=(51,52,…, 5,0,…,0),则矩阵B的秩为n-r,且有AB=A(51,2,…,5n-,0,…,0)=(A51 A52,…,A5n,0,…,0),即有AB=O 例8设有线性方程组 anx1+anC+.+ aint, = b2 anTi +an2x2+.+am,= b, Anxi+Anx2+.+ AImin =cI A21x1+A2x2+…+A A,lTI+ A.22+. AcR =c. 其中A为a在行列式A|=1(an)中的代数余子式,b(=1,2,…,n),C1(=1,2, n)不全为零,证明:方程组(*)有唯一解的充分必要条件是方程组(**)有唯一解 证根据克莱姆法则,非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是系数行列式的值不为 零.可利用第23讲伴随矩阵的公式来证明两个方程组系数行列式不为零是等价的.设方程 组(*)的系数矩阵为A,方程组(**)的系数矩阵为B,则有 )t=(A|A-)2 所以 1B|=|A1A2|=1A1”1A-11=1A1"1A11=1A1”, 于是1B|≠0的充要条件是1A1≠0,故若方程组(*)有唯一解,则A|≠0,可得|B ≠0,从而方程组(#*)有唯一解;反之,若方程组(**)有唯一解,则1B|≠0,可得|A 1≠0,从而方程组(*)有唯一解 例9设A=4 3,B为三阶非零矩阵,且AB=O,则t= 提示n个方程n个未知量的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分条件是|A1