。384 北京科技大学学报 第33卷 响.本文利用数值计算方法，对不同动力频率下边 表示 坡的动力响应规律以及影响边坡动力响应的主导频 an=20 CpY 率及其影响因素进行研究. as=20C 1有限差分动力计算原理 G= K+4G3 6 在有限差分计算过程中，就结构的单一计算单 元而言，其单元载荷可以以节点力的方式表示. C=G 图1表示承载结构中的一个离散单元单元中 式中，CC分别为应力波的平面波波速和剪切波波 S表示每一个边界的长度，几、马表示方向矢量，如 速，常则分别为单元的法向运动速度和切向运动 是节点力可以表示为下式的形式： 速度，P为承载体的密度，GK为承载体的剪切模量 R=0(n$+nS) (1) 和体积模量. 在多自由度的情况下，可以根据承载体临界角 式中，R,ō分别为计算单元的节点力和应力. 频率（由本征值确定，求得临界阻尼比： 其动力学方程为 MU+CU+KU-R 1-8+o (7) (2) 式中，MC和K分别为承载体的质量矩阵、阻尼矩 式中，7w:分别表示结构单元的临界阻尼比和临 阵和刚度矩阵，UU和U分别为质点的位移、速度 界角频率 和加速度列阵，R则表示载荷矩阵 刚度阻尼下承载结构的计算时步增量可以表 示为 △=2(1+X2-x) (8) ): 式中，入为承载体的本征值. 2动力频率对边坡动力响应的影响 为方便研究动力频率对边坡响应的影响，采用 图1单元节点力表示 平面模型假设，并假定边坡由均质各向同性、弹性材 Fg1 Forces at an ekmentnode 料构成.计算模型中的边界条件采用动态黏弹性约 承载体质点质量矩阵M是对角矩阵，刚度矩阵 束.边坡底部加载垂直向上剪切波，加速度时程为 K通常是对称的带状矩阵，阻尼矩阵C可以根据 a-(0.1~05)gBeay sin(2xf项，其中，a= Rayleih-R动载理论将其分为质量阻尼和刚度阻 22B=0.375、Y=80为系数8=9.81ms2为重 尼两部分，其表示方法为 力加速度，=1~9H为波的振动频率，加速度时 C-aM+BK (3) 程振幅为=0.1g坡高529边坡角为45°.边坡 式中，α、β分别表示承载体的质量阻尼和刚度阻尼 岩体弹性模量E=2MP泊松比u=0.25 常数 加速度时程曲线如图2所示计算模型如图3 a、β可以表示为 所示，坡面上从坡脚往上每隔5m布置一个监测点， a=λB=入 4 其距离动力源的高度依次为12~52，同时在水平 式中，入为系统的阻尼之比，ω为承载体自振角 方向布置若干测点. 频率 为研究边坡动力响应的规律，引入量纲1边坡 根据牛顿第二定律节点位移速度可以表示为 动力响应放大系数其定义为边坡各高程动力响 440=i4e+∑R会 (5) 应最大值与输入动力最大值之间的比值，即最大振 幅之比.通过在边坡底部加载加速度时程，对加速 式中，m表示单元的质量，t△表示计算时间及时间 度响应放大系数的分布规律进行研究.表1为频率 增量. 上1~9H附，边坡各高程测点动力响应放大系数 在动载作用下，承载体单元的法向应力σ和剪 表.从表中可以看出，随着输入动力频率的增加，边 应力ō可以由应力在岩土体中的应力传播速度来 坡动力响应放大系数响应增大，但边坡动力响应放北 京 科 技 大 学 学 报 第 33卷 响 .本文利用数值计算方法, 对不同动力频率下边 坡的动力响应规律以及影响边坡动力响应的主导频 率及其影响因素进行研究 . 1 有限差分动力计算原理 在有限差分计算过程中, 就结构的单一计算单 元而言, 其单元载荷可以以节点力的方式表示 . 图 1 表示承载结构中的一个离散单元, 单元中 S n表示每一个边界的长度, ni、nj表示方向矢量, 如 是节点力可以表示为下式的形式: Rij= 1 2 σij( niS 1 +njS 2 ) ( 1) 式中, Rij、σij分别为计算单元的节点力和应力 . 其动力学方程为 MU ·· +CU · +KU=R ( 2) 式中, M、C和 K分别为承载体的质量矩阵 、阻尼矩 阵和刚度矩阵, U、U · 和 U ·· 分别为质点的位移 、速度 和加速度列阵, R则表示载荷矩阵. 图 1 单元节点力表示 Fig.1 Forcesatanelementnode 承载体质点质量矩阵 M是对角矩阵, 刚度矩阵 K通常是对称的带状矩阵, 阻尼矩阵 C可以根据 Rayleith-Rizs动载理论将其分为质量阻尼和刚度阻 尼两部分, 其表示方法为 C=αM+βK ( 3) 式中, α、β分别表示承载体的质量阻尼和刚度阻尼 常数. α、β可以表示为 α=λω, β =λ/ω ( 4) 式中, λ为系统的阻尼之比, ω为承载体自振角 频率. 根据牛顿第二定律, 节点位移速度可以表示为 u · ( t+Δt/2) i =u · ( t-Δt/2 ) i +∑ R t i Δt m ( 5) 式中, m表示单元的质量, t、Δt表示计算时间及时间 增量. 在动载作用下, 承载体单元的法向应力 σn和剪 应力 σs可以由应力在岩土体中的应力传播速度来 表示 σn =2ρCpvn σs =2ρCsvs Cp = K+4G/3 ρ Cs = G ρ ( 6) 式中, Cp、Cs分别为应力波的平面波波速和剪切波波 速, vn、vs则分别为单元的法向运动速度和切向运动 速度, ρ为承载体的密度, G、K为承载体的剪切模量 和体积模量. 在多自由度的情况下, 可以根据承载体临界角 频率 (由本征值确定 ), 求得临界阻尼比 : ηi = 1 2 α ωi +βωi ( 7) 式中, ηi、ωi分别表示结构单元的临界阻尼比和临 界角频率 . 刚度阻尼下承载结构的计算时步增量可以表 示为 Δtβ = 2 ωi ( 1 +λ 2 -λ) ( 8) 式中, λ为承载体的本征值 . 2 动力频率对边坡动力响应的影响 为方便研究动力频率对边坡响应的影响, 采用 平面模型假设, 并假定边坡由均质各向同性 、弹性材 料构成.计算模型中的边界条件采用动态黏弹性约 束.边坡底部加载垂直向上剪切波, 加速度时程为 a=( 0.1 ～ 0.5) g βe -αtγsin( 2πft), 其中, α= 2.2、β =0.375、γ=8.0为系数, g=9.81 m·s -2为重 力加速度, f=1 ～ 9 Hz为波的振动频率, 加速度时 程振幅为 a=0.1g.坡高 52 m, 边坡角为 45°.边坡 岩体弹性模量 E=2 MPa, 泊松比 μ=0.25. 加速度时程曲线如图 2 所示, 计算模型如图 3 所示, 坡面上从坡脚往上每隔 5 m布置一个监测点, 其距离动力源的高度依次为 12 ～ 52 m, 同时在水平 方向布置若干测点 . 为研究边坡动力响应的规律, 引入量纲 1边坡 动力响应放大系数 ξ, 其定义为边坡各高程动力响 应最大值与输入动力最大值之间的比值, 即最大振 幅之比.通过在边坡底部加载加速度时程, 对加速 度响应放大系数的分布规律进行研究.表 1为频率 f=1 ～ 9 Hz时, 边坡各高程测点动力响应放大系数 表.从表中可以看出, 随着输入动力频率的增加, 边 坡动力响应放大系数响应增大, 但边坡动力响应放 · 384·