曲线的吻接:曲线的吻接及其解析表达.参阅[4P2 2.x<0 例8设f(x)={a x=0,确定a、b和c的值,使函数f(x)在点x=0 x> 可导(a b=1) 四.奇、偶函数和周期函数的导函数: 例9可导奇函数的导函数是偶函数.(给出用定义证和用链导公式证两种证法) 例10设f(x)是偶函数且在点x=0可导,则f(0)=0 证f(0)=im<(x)-1(=m<(-1)-f(0= =-lim/()-f(0) f'(0),即f(0)=-f(0) 由∫(O)存在,→∫(0)=f(0)=f(0),→f(0)=-f(0),→f(0)=0 简提可导周期函数的导函数为周期函数,且周期不变 五.关于可导性的一些结果 1.若f(x)是初等函数,则∫(x)也是初等函数.在初等函数∫(x)的定义域内,导函 数∫(x)不存在的点是函数f(x)的不可导点.例如函数∫(x)=x3的定义域是R,但 导函数∫(x)=x3在点x=0没有定义,因此点x=0是函数f(x)=x3的不可导 点 参阅[4P114 2.存在仅在一点可导的函数.例如 (3x为无理数 该函数仅在点x=0可导 3.存在处处连续但处处不可导的函数.十九世纪后半叶,德国数学家 Weierstrass大约 在1875年首先给出了这样的一个函数,其后直到现在给出更为简单的这类函数的 例的工作一直在进行着.其中较简单的例可参阅F. Riesz(匈牙利人)著《泛函分 析》VolP3-5,或 Mark Lynch,《 a continuous, nowhere differentiable function》,Amer.Math. Monthly,wol99,№1,1992,P8-9.近年来,对这 问题给出了更一般的回答,即在某种意义下(在纲的意义下),连续但不可导的函 数要比连续且可导的函数多得多.可参阅丁传松著《实分析导论》(科学出版社, 1998.)P5-8一．曲线的吻接: 曲线的吻接及其解析表达. 参阅[4]P112. 例 8 设 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + > = <+ = .0 , ,0 , ,0 ,2 sin )( 2 xcbx a x x x x xf 确定 、b 和 的值，使函数 在点 可导. ) a c xf )( x = 0 bca === 1 ,2 ( 四. 奇、偶函数和周期函数的导函数： 例 9 可导奇函数的导函数是偶函数. ( 给出用定义证和用链导公式证两种证法) 例 10 设 是偶函数且在点 可导 xf )( x = 0 , 则 f ′ = 0) 0 ( . 证 = − − − ===== − ′ = + → − −= → + t ftf x fxf f t xt x )0()( lim )0()( lim) 0 ( 0 0 ),0( )0()( lim 0 − → −= ′ − −= − f t ftf t 即 ).0()0( + − ′ = − ff ′ 由 存在， f ′ )0( ⇒ ′ = ′ = ′ ⇒ ′ = − ′ ⇒ ′ = .0)0( ),0()0( ),0()0()0( + − fffff f 简提可导周期函数的导函数为周期函数, 且周期不变. 五. 关于可导性的一些结果: 1. 若 是初等函数, 则 也是初等函数. 在初等函数 的定义域内, 导函 数 不存在的点是函数 的不可导点. 例如函数 xf )( ′ xf )( xf )( ′ xf )( xf )( 3 1 )( = xxf 的定义域是 R , 但 导函数 3 2 3 1 )( − ′ = xxf 在点 x = 0没有定义, 因此点 x = 0是函数 3 1 )( = xxf 的不可导 点. 参阅[4]P114. 2． 存在仅在一点可导的函数. 例如 ⎩ ⎨ ⎧ = ,0 . , , )( 2 为有理数 为无理数 x xx xf 该函数仅在点 可导 x = 0 . 3． 存在处处连续但处处不可导的函数. 十九世纪后半叶, 德国数学家 Weierstrass 大约 在 1875 年首先给出了这样的一个函数, 其后直到现在给出更为简单的这类函数的 例的工作一直在进行着. 其中较简单的例可参阅 F. Riesz (匈牙利人) 著《泛函分 析》Vol P3—5, 或 Mark Lynch , 《A continuous ， nowhere differentiable function 》，Amer . Math . Monthly, Vol 99, №1, 1992, P8—9. 近年来, 对这一 问题给出了更一般的回答, 即在某种意义下( 在纲的意义下), 连续但不可导的函 数要比连续且可导的函数多得多. 可参阅丁传松著《实分析导论》（科学出版社， 1998.）P5—8. 46