)设f(x)-f(x0)=(x-x0)∫”(x),又∫(x)在点x连续则有 f(xo=lim f(x)-f(x0) limf"(x)=∫'(x0) 即f(x0)存在且∫(x0)=f'(x) 求导数或求切线: 例4f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-25),求f(O)和f(1) 例5f(x)=arcg√x2-1,求mnf(√5)-f(√5+2h) h 例6f(x)={e,x≠0,求f(0) 解f(O)=lim2e ==lim f(x)={x3 x≠0, 0 设f"(x)=P()2,x≠O,其中P()为的多项式注意到对任何正整 0 数 m,1m=0则有 f(m(0)=lim-P()e =0 有f(0)=0 例7抛物线方程为y=x2-3.求下列切线 (1)过点(2,1).(该点在抛物线上) (4x-y-7=0.) (2)过点(2,0).(该点不在抛物线上) 2x-y-4=0和 6x-y-12=0⇐) 设 0 −=− 0 ∗ xfxxxfxf ),()()()( 又 在点 连续 xf )( . 则有 ∗ 0 x ).()(lim )()( lim)( 0 0 0 0 0 0 xfxf xx xfxf xf xx xx ∗ ∗ → → = = − − ′ = 即 存在且 )( 0 ′ xf ).()( 0 0 xfxf ∗ ′ = 二. 求导数或求切线: 例 4 xxxxf −−= )2)(1()( " x − ),25( 求 f ′ )0( 和 f ′ ). 1 ( 例 5 )( ,1 2 = xarctgxf − 求 ) 5 1 ( . ) 25 () 5 ( lim 0 − +− → h hff h 例 6 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ = − .0 ,0 ,0 , )( 2 1 x xe xf x 求 ).0( n)( f 解 lim)0( 2 .0lim 2 1 1 0 ′ = ===== = ∞→ = − → t t x t x x e t x e f ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ ∴ ′ = − .0 ,0 ,0 , 2 )( 2 1 3 x xe x xf x 设 )( = )( xf n ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − .0 ,0 ,0 ,) 1 ( 2 1 x xe x P x 其中 ) 1 ( x P 为 x 1 的多项式. 注意到对任何正整 数 = ,0lim , +∞→ t m t e t m 则有 .0) 1 ( 1 lim) 0 ( 2 1 0 )1( = = − → + x x n e x P x f ∴ 对∀n, 有 .0) 0 ()( = n f 例 7 抛物线方程为 .3 求下列切线: 2 xy −= ⑴ 过点 .) 1 , 2 ( ( 该点在抛物线上 ) ( − yx − = .074 ) ⑵ 过 点 ) 0 , 2 ( . ( 该点不在抛物线上 ) ( − yx − = 042 和 yx =−− .0126 ) 45