以例7为例,说明高阶微分不具有形式不变性 在例7中,倘若以y=sinu求二阶微分,然后代入u=x2,就有 d-y=(sin u)(du)=-sinu(du)=-sin x(2xdx)-=-4x x dx 倘若先把u=x2代入y=sinu,再求二阶微分,得到 d-y=d sin x=(2cos sin x )dx=2cosxdx--4x sin dx 可见上述两种结果并不相等.这说明二阶微分已经不具有形式不变性.一般地,高 阶微 分不具有形式不变性 ExP171 习题课 可导条件 例1设在点x0=0的某邻域内有|f(x)|x2证明f(x)在点x=0可导 例2设函数∫(x)在点x0可导,f(x0)=0,f(x0)≠0.则f(x)在点 x0不可导 例3设函数∫(x)定义在区间(a,b)内,x0∈(a,b).试证明:f(x)在点x0可导的充 要条件是存在(a,b)内的函数∫(x)(仅依赖于∫和x).使∫(x)在点x连续且适 合条件 f(x)-f(x0)=(x-x0)f”(x) x∈(a,b) 并有∫'(x。)=f(x0) 证→)设∫(x)存在,定义 f(x)-f(x0) x≠x0 Jf'(xo), 易验证函数∫(x)在点x。连续,f(x)-f(x0)=(x-x0)(x),且以例 7 为例, 说明高阶微分不具有形式不变性: 在例 7 中, 倘若以 求二阶微分 = sin uy , 然后代入 = xu 2 , 就有 ;sin4)2(sin)(sin)()(sin 2 2 2 2 2 222 = ′′ duuyd −= duu −= −= dxxxxdxx 倘若先把 代入 = xu 2 = sin uy , 再求二阶微分, 得到 cos2)sin4cos2(sin .sin4 2 22 2222 22222 = −= dxxxxxdyd = − dxxxdxx 可见上述两种结果并不相等. 这说明二阶微分已经不具有形式不变性. 一般地, 高 阶微 分不具有形式不变性. Ex P171 习 题 课 一. 可导条件: 例 1 设在点 的某邻域内有 x0 = 0 . )( 2 ≤ xxf 证明 在点 xf )( x0 = 0 可导. 例 2 设函数 在点 可导 xf )( , 0 x .0)( ,0)( 0 = ′ xfxf 0 ≠ 则 在点 xf | )( | 0 x 不可导. 例 3 设函数 定义在区间 xf )( ba ),( 内, ).,( 0 ∈ bax 试证明: 在点 可导的充 要条件是存在 内的函数 （仅依赖于 和 . 使 在点 连续且适 合条件 xf )( 0 x ba ),( xf )( ∗ f ) 0 x xf )( ∗ 0 x ).,( ),()()()( 0 −=− 0 ∈ baxxfxxxfxf ∗ 并有 ).()( 0 0 = ′ xfxf ∗ 证 ⇒) 设 存在 ′ xf 0 )( , 定义 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ′ = ≠ − − = ∗ . ),( , , )()( )( 0 0 0 0 0 xf xx xx xx xfxf xf 易验证函数 xf )( 在 点 连 续 , 且 ∗ 0 x ),()()()( 0 0 xfxxxfxf ∗ −=− ).()( 0 0 = ′ xfxf ∗ 44