(n≥3) 并依此求ym(0). 1-x2y'=1.两端求导→Ⅵ1-x)1-r0,即 (1-x2)y-xy'=0.对此式两端求n阶导数,利用Lbnz公式,有 (1-x2)y+2)+Cn(-2x)ym)+C2(-2)y/-xym+)-Cym)= =(1-x2)y+2)-(2n+1)xy(m+)-n2y=0 可见函数y= arcsin x满足所指方程.在上式中令x=0,得递推公式 n 注意到y(0)=0和y(0)=1,就有n=2k时,y(0)=0,n=2k+1时, y(0)=(2k-12(2k-3)2…32·12·f(0)=[2k-1 四.参数方程所确定函数的高阶导数: d2y dt( dx o(o)y(o'(o-y'(Oo( 例6x=ac01,y=bmd2y d-y b 解 ctgt a a sin t 五.高阶微分 高阶微分的定义:d2y=d(d)=d(f(x)d)=d((x)dx= f()dx. dx=f(x)(dx)=f(x) n阶微分定义为n-1阶微分的微分,即 注意区分符号dx2=(dx)2,d2x(=0),d(x2)的意义 例7y=f(u)=sinu,l=(x)=x2.求d2y)12()1( ) 3 ( .0 )2(2 )(2)1( − =−+− ≥ + + ynxynyx n n n n 并依此求 ).0( n)( y 解 .11 , 1 1 2 2 − ′ = − ′ = yx x y 两端求导 ,0 1 1 2 2 = − ′ −⇒ ′′ − x yx yx 即 )1( .0 2 − ′′ − yxyx ′ = 对此式两端求 阶导数 n , 利用 Leibniz 公式, 有 − =−−−+−+ + 1)2(2 + 2)1( + )(1)1()( )1( )2( )2( n n n n n n n n yCxyyCyxCyx )12()1( .0 )2(2 )(2)1( −= =−+− n+ n+ n ynxynyx 可见函数 = arcsin xy 满足所指方程 . 在上式中令 x = ,0 得递推公式 ).(2)2( n n = yny + 注意到 y ′′ = 0)0( 和 y′ = 1)0( , 就有 = 2kn 时, ;0)0()( = n y = kn +12 时, )0(13)32()12()0()( 2 222 kky f n " ⋅⋅−−= ′ [ ] .!)!12( 2 k −= 四. 参数方程所确定函数的高阶导数: = ′ ′ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ ′ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = )( )( )( 2 2 t t t dt dx dx dy dt d dx yd ϕ ϕ ψ ( ) . )( )()()()( 3 t tttt ϕ ψ ϕ ψ ϕ ′ ′′ ′ − ′ ′′ 例 6 = = tbytax .sin ,cos 求 . 2 2 dx yd 解 ctgt. a b dx dy −= . sin 2 32 2 ta b dx yd " −== 五． 高阶微分： 高阶微分的定义： == ( ) ′ )()( = ( ′ )( ) dxxfddxxfddydyd =⋅ 2 )( .)())(( 2 2 = ′′ =⋅ ′′ = ′′ dxxfdxxfdxdxxf n 阶微分定义为 阶微分的微分， n −1 即 ( ) .)( n n 1 n)( n === dxxfyddyd − " ( 注意区分符号 )( ),0( ,)( 的意义. 2 22 2 = xddxdx = xd ) 例 7 .)( ,sin)( 求 2 ϕ ==== xxuuufy . 2 yd 43