有了边界条件,原则上可以解 Poisson方程以得到所有关于场的信息。在介绍静 电方程的解的具体方法之前,首先介绍一个重要的定理--唯一性定理 定理:如果静电体系内存在电荷分布p(F)和电介质分布E(),且关系式D=EE 成立,则体系的电场由边界条件(即边界上的q或nD)唯一确定即不可能 存在两组不同的电场解,都满足同样的边界条件(参照4.1上面的图) 证明:我们利用反证法证明。设对同一个体系存在有两个解φ和q”, E'=-Vg,E"=-Vq";D'=EE,D"=EE",下面我们将证明它们其实是同样的 D′=D",E'=E (42.1) 根据定义,这两个场都要满足同样的边界条件,即在边界处有 或者D·n=D·en (42.2) 因此定义一个函数,z(F)=(g-q)D-D"),其在边界上的积分一定为0 0=(-g")D-D)ds=Z(7)·d=VZ(F)dr(42.3) 检查对Z(F)的散度,发现 V·Z(F)=(q-q")(V·D-V·D")+(Vq-Vq")(D-D")(4.24) 由于讨论的是同一个体系,必有VD=VD”=p,故 (4.2.5) 将上式带入(42.3)可得, L(E-E)(D'-Doydr=-lv Zdr=0 (4.26) 根据已知条件 D=ED =EE 带入上式可得 E()|E'-E"dr=0 (42.7) 而由于E≥1,所以有 E′=E 两个解相同,静电场是唯一的。由E=-Vφ可知,电势φ'与φ"之间最多差一个 任意常数。我们对此作一些讨论: (1)在某一些介质中D和E之间并不一定是线性的,一般说来D是E的函数。这时, 只要D是E的单值单调递增函数,则由4.2.6)式可看出, 定理仍成立。射铁电介质来说,上述唯一性定理不 成立,因为有电滞回线存在,D和E不再是单值的。 的确,此时对应同样的边界条件可以不同的解。物理上,3 有了边界条件，原则上可以解 Poisson 方程以得到所有关于场的信息。在介绍静 电方程的解的具体方法之前，首先介绍一个重要的定理--- 唯一性定理。 定理： 如果静电体系内存在电荷分布 ( )r  和电介质分布 ( )r  ，且关系式 D E     成立，则体系的电场由边界条件（即边界上的 或 ˆn e D  ）唯一确定- 即不可能 存在两组不同的电场解，都满足同样的边界条件 （参照 4.1 节上面的图）。 证明：我们利用反证法证明。设对同一个体系存在有两个解  和  ， E E          ,    ； D ED E        ,     ，下面我们将证明它们其实是同样的： D' D'',E' E''      （4.2.1） 根据定义，这两个场都要满足同样的边界条件，即在边界处有 ' ''  或者 ' '' De D e n n        （4.2.2） 因此定义一个函数，Z( ) ( )( ) r DD            ，其在边界上的积分一定为 0： 0 ( )( ) ( ) ( ) S V               D D dS Z r dS Z r d           （4.2.3） 检查对Z( )r   的散度，发现           Z( ) ( )( ) ( ) ( ) r D D DD                 （4.2.4） 由于讨论的是同一个体系，必有   D D      ，故 ( ) ( ) ( )      Z r EE DD         (4.2.5) 将上式带入（4.2.3）可得， ( )( ) 0 V V E E D D d Zd                 （4.2.6） 根据已知条件 ' ' '' '' D E ,D E        带入上式可得 2 () 0 V   rE E d         （4.2.7） 而由于 1，所以有 E E      两个解相同，静电场是唯一的。由 E    可知，电势 '与 ''之间最多差一个 任意常数。我们对此作一些讨论： （1） 在某一些介质中 D  和 E  之间并不一定是线性的，一般说来 D  是 E  的函数。这时， 只要 D  是 E  的单值单调递增函数，则由(4.2.6)式可看出， 定理仍成立。对铁电介质来说，上述唯一性定理不 成立，因为有电滞回线存在， D  和 E  不再是单值的。 的确，此时对应同样的边界条件可以不同的解。物理上， D2 E2 E1 D1