例记 0 100::0 为m维标准单位列向量,则 0 a i, aei +be b 0 从而 a11e1+a21e2+.+arlen=>aiei, aj 四.行列式的等价定义 §11中用递推方法定义了行列式,这里将行列式表示为m!项的和 先引进些符号.设|A4为n阶行列式,其第(,j)元素记为a1,行列式的第 列简记为a3,1≤j≤n.将|A|记为|a1a2 贝 Q1 a ailey =∑anl ei 所以4=∑a1k2le;ek…an=∑a12 akon ek1 ek…exn 又当ek1=k时,|ek1ek ekn=0.故不为零的行列式|ek;ck2…ek 必须满足条件:k1≠k,即(k1,k2,…,kn)为(1,2,……,m)的一个全排列或称U C e1 =   1 0 0 . . . 0   , e2 =   0 1 0 . . . 0   , · · · , en =   0 0 0 . . . 1   ,  n J[Y￾: aei =   0 . . . 0 a 0 . . . 0   i , aei + bej =   0 . . . a . . . b . . . 0   i . . . j * α1 =   a11 a21 . . . an1   = a11e1 + a21e2 + · · · + an1en = Xn i=1 ai1ei , αj =   a1j a2j . . . anj   = Xn i=1 aijei .
[|!"E'* §1.1 G-& .,'*Z[|￾WI[| } n! !;
,M/:
y |A|  n K[|￾n% (i, j) 5C aij , [|!% j [FC αj , 1 ≤ j ≤ n. I |A| C | α1 α2 · · · αn |, : |A| = | α1 α2 · · · αn | = | Pn i=1 ai1ei α2 · · · αn | = Xn i=1 ai1 | ei α2 · · · αn | | ei α2 · · · αn | = | ei Pn k=1 ak2ek · · · αn | = Xn k=1 ak2 | ei ek · · · αn | (|A| = X i,k ai1ak2 | ei ek · · · αn | = X k1,k2,···,kn ak11ak22 · · · aknn | ek1 ek2 · · · ekn | 0 eki = ekj z￾| eki ekj · · · ekn | = 0. 6℄![| | eki ekj · · · ekn | !aM H ki 6= kj ,  (k1, k2, · · · , kn)  (1, 2, · · · , n) !%3tm[? 3