71对于非相对论粒子,=P2=b2(m2+n2+n2),n,n,n=01±2,… 2m 2mL2 试根据公式P2a ∑a证明p= 20 28 由L=a312m(++n)=2,将以上关系代入压 强公式,则有p=∑a 3243 76晶体含有N个原子.原子在晶体中的位置如ooO 图中○所示,当原子离开正常位置而占据图 中x位置时,晶体中就出现缺位和填隙原子 +o+ 晶体的这种缺陷称为弗伦克尔缺陷. (1)假设正常位置和填隙位置数都是N,试 证明由于在晶体中形成n个缺位和填隙 原子而具有的熵为S=2kh-N1 ) n!(N-n (2)设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u.试由自由能F=m-TS为 极小证明,温度为T时,缺位和填隙原子数为n≈Ne2k(设n<N) 解 (1)n个原子占据填隙位置而其余占据正常位置这一分布对应的微观状态 数即从N个填隙位置中选取n个容纳填隙原子,且从N个正常位置中 选取N-n个容纳其余原子的方式数,故=CCN N n!(N-n S=kIns=2kIn- N! (2)F=nu-2kT In n!(N-I +2kT[nInn+(N-n)In(N-n)NInN] 由=+2kTh”=0得n=(N-n2Ne5(n<N) 710表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动,可以看作二维理想气体 试写出在二维理想气体中分子的速度分布和速率分布,并求平均速率ν、最 概然速率vm和方均根速率v7.1 对于非相对论粒子， ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 x y z p h n n n m mL ε = = + + ， ． 试根据公式 , , 0, 1, 2, x y z n n n = ± ± … l l l p a V ∂ε = − ∂ ∑ 证明 2 3 U p V = ． 解： 由 1 3 L V= 可得 ( ) 2 2 2 2 5 3 2 2 3 2 3 x y z h nnn V mV V ∂ε ⎡ ⎤ ε = − + + = − ⎢ ∂ ⎣ ⎦⎥ ．将以上关系代入压 强公式，则有 2 2 3 3 l l l l l l U p a a V V V ε ε ∂ = − = = ∂ ∑ ∑ ． 7.6 晶体含有 个原子．原子在晶体中的位置如 图中 所示．当原子离开正常位置而占据图 中×位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子． 晶体的这种缺陷称为弗伦克尔缺陷． N ○ ○○○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × × (1) 假设正常位置和填隙位置数都是 ，试 证明由于在晶体中形成 个缺位和填隙 原子而具有的熵为 N n ( ) ! 2 ln ! ! N S k n N n = − ． (2) 设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u ．试由自由能 为 极小证明，温度为T 时，缺位和填隙原子数为 F n = − u TS 2 e u kT n N （设 ）． − ≈ n  N 解： (1) 个原子占据填隙位置而其余占据正常位置这一分布对应的微观状态 数即从 个填隙位置中选取 个容纳填隙原子，且从 个正常位置中 选取 n N n N N − n 个容纳其余原子的方式数，故 ( ) 2 ! C C ! ! n N n N N N n N n Ω − ⎡ ⎤ = = ⎢ ⎥ − ⎣ ⎦ ， ( ) ! ln 2 ln ! ! N S k k n N n = = Ω − ． (2) ( ) ( ) ( ) ! 2 ln 2 ln ln ln ! ! N F nu kT nu kT n n N n N n N N n N n = − ≈ + ⎡ + − − − ⎤ ⎣ ⎦ − ． 由 d 2 ln 0 d F n u kT n N = + = − n 得 ( ) 2 2 e e u u kT kT n N n N （n ）． − − = − ≈  N 7.10 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维理想气体． 试写出在二维理想气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率v 、最 概然速率vm 和方均根速率vs ． 1